Sejam (x, y) e (r, theta) coordenadas no sistema cartesiano e polar respectivamente e f(x, y)=x^2-y^2+y / x
(a) Escreva x e y em função de r e theta e escreva f(r, theta).
(b) Calcule d fd r.

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa trocar de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,θ) e depois derivar a função em relação a r.

Passo 2

Em coordenadas polares a gente sabe que
x = rcostheta,
y = rsintheta

Passo 3

Agora a gente substitui na função f(x,y)=x^2 - y^2 + yx:
f(r,theta)= (rcostheta)^2 - (rsintheta)^2 + rsinthetarcostheta
Aí a gente simplifica cada termo: o primeiro dá r^2cos^2theta, o segundo r^2sin^2theta e o último fica tantheta.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta - sin^2theta = cos2theta. Então
f(r,theta)= r^2(cos^2theta - sin^2theta) + tantheta = r^2cos2theta + tantheta

Passo 5

Pra calcular dfdr tratamos theta como constante e derivamos:
ddrl(r^2cos2theta + tanthetar) = 2rcos2theta + 0 = 2rcos2theta

Resposta

f(r,\theta)=r^2\cos2\theta+\tan\theta e \frac{df}{dr}=2r\cos2\theta.

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