Sejam
e
coordenadas no sistema cartesiano e polar respectivamente e
(a) Escreva
e
em função de
e
e escreva
.
(b) Calcule
.
(a) Escreva
(b) Calcule
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa trocar de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,θ) e depois derivar a função em relação a r.
Passo 2
Em coordenadas polares a gente sabe que
Passo 3
Agora a gente substitui na função
:
Aí a gente simplifica cada termo: o primeiro dá
, o segundo
e o último fica
.
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica
. Então
Passo 5
Pra calcular
tratamos
como constante e derivamos:
Resposta
f(r,\theta)=r^2\cos2\theta+\tan\theta e \frac{df}{dr}=2r\cos2\theta.