Seja f: R^3 R dada por f(x, y, z)=3 x^2 y^3-4 y^2-z e p=(2,-1,10).
(a) Calcule o gradiente de f(x, y, z) em p.
(b) Parametrize a superfície de nível f(x, y, z)=0 e ache o vetor normal ao ponto (2,-1).
© Ache a equação do plano tangente à superfície de nível f(x, y, z)=0 em p.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f(x,y,z)=3x^2y^3-4y^2-z no ponto vec p=(2,-1,10), depois parametrizar a superfície de nível f(x,y,z)=0 e extrair o vetor normal em (2,-1), e por fim obter a equação do plano tangente a essa superfície em vec p. Vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente, parametrização de superfície implícita e plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=6xy^3, partial fpartial y=9x^2y^2-8y, partial fpartial z=-1
Substituindo (x,y,z)=(2,-1,10) obtemos
nabla f(2,-1,10)=(-12,,44,,-1)

Passo 3

Para parametrizar f(x,y,z)=0 resolvemos para z:
z=3x^2y^3-4y^2
Então uma parametrização é
r(u,v)=(u,,v,,3u^2v^3-4v^2)
Os vetores tangentes são
ru=(1,0,6uv^3), rv=(0,1,9u^2v^2-8v)
Em (u,v)=(2,-1) temos
ru=(1,0,-12), rv=(0,1,44)
O vetor normal é o produto vetorial
n= rutimes rv=(12,,-44,,1),
que é colinear a nabla f(2,-1,10) (só muda o sinal).

Passo 4

O plano tangente a f=0 em vec p usa o gradiente como normal, dando
-12(x-2)+44(y+1)-1(z-10)=0
Distribuindo e simplificando chegamos à forma padrão

Passo 5

Resposta

(a) nabla f(2,-1,10)=(-12,,44,,-1).
(b) Uma parametrização é r(u,v)=(u,v,3u^2v^3-4v^2) e o vetor normal em (2,-1) é, por exemplo, (12,-44,1) (ou colinear (-12,44,-1)).
© A equação do plano tangente é
12x -44y + z -78 = 0

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