Seja
dada por
e
.
(a) Calcule o gradiente de
em
.
(b) Parametrize a superfície de nível
e ache o vetor normal ao ponto
.
© Ache a equação do plano tangente à superfície de nível
em
.
(a) Calcule o gradiente de
(b) Parametrize a superfície de nível
© Ache a equação do plano tangente à superfície de nível
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de
no ponto
, depois parametrizar a superfície de nível
e extrair o vetor normal em
, e por fim obter a equação do plano tangente a essa superfície em
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente, parametrização de superfície implícita e plano tangente.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Substituindo
obtemos
Passo 3
Para parametrizar
resolvemos para
:
Então uma parametrização é
Os vetores tangentes são
Em
temos
O vetor normal é o produto vetorial
que é colinear a
(só muda o sinal).
Passo 4
O plano tangente a
em
usa o gradiente como normal, dando
Distribuindo e simplificando chegamos à forma padrão
Passo 5
Resposta
(a)
.
(b) Uma parametrização é e o vetor normal em
é, por exemplo,
(ou colinear
).
© A equação do plano tangente é
(b) Uma parametrização é
© A equação do plano tangente é