Considere a função y(x, t)=A cos (2 x+t).
(a) Mostre que f(x, t) é uma solução da equação de onda.
(b) Calcule o comprimento de onda associado a essa função.
© Calcule a velocidade de fase dessa onda.

Passo 1

O enunciado nos dá a função y(x,t)=Acos(2x+t). O conteúdo envolve a equação de onda clássica e as propriedades de uma onda harmônica, como comprimento de onda e velocidade de fase. Vamos: i) mostrar que essa função satisfaz partial^2 ypartial t^2=v^2partial^2 ypartial x^2, ii) achar o comprimento de onda lambda e iii) calcular a velocidade de fase vfase.

Passo 2

Para verificar a equação de onda, calculamos as derivadas segundas em relação a t e x:
partial^2 ypartial t^2=-Acos(2x+t)
e
partial^2 ypartial x^2=-4Acos(2x+t)
essas contas usam a derivada de cos(u) que é -sin(u) e depois novamente para voltar a cos(u).

Passo 3

Comparando na equação de onda
partial^2 ypartial t^2=v^2,partial^2 ypartial x^2
temos
- Acos(2x+t)=v^2l(-4Acos(2x+t)r)
Cancelando -Acos(2x+t) (que não é zero para onda não trivial) resulta
1=4v^2
logo
v=tfrac12
Isso mostra que y(x,t) é solução da equação de onda com velocidade v=1/2.

Passo 4

Para achar o comprimento de onda, identificamos o número de onda k no argumento 2x+t. Aqui k=2, e sabemos que
lambda=2pik=2pi2=pi

Passo 5

A velocidade de fase é dada por
vfase=omegak
onde omega é o coeficiente de t, isto é omega=1, e k=2. Logo
vfase=12

Resposta

(a) A função satisfaz a equação de onda com velocidade v=tfrac12.
(b) O comprimento de onda é lambda=pi.
© A velocidade de fase vale vfase=tfrac12.

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