Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) vetores em \mathbb{R}^{3}. O produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u \times v=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
Prove que valem as seguintes propriedades:
\mathrm{u} \times \mathrm{v}=-\mathrm{v} \times \mathrm{u}

Passo 1

O enunciado define, para u=(x_{1},x_{2},x_{3}) e v=(y_{1},y_{2},y_{3}) em \mathbb{R}^{3}, o produto vetorial
u\times v=\bigl(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},\;x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},\;x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\bigr).
Queremos mostrar a propriedade anticomutativa
u\times v=-\,\bigl(v\times u\bigr).

Passo 2

Aplicando a mesma definição para v\times u, trocando u por v e v por u, obtemos
v\times u =\bigl(y_{2}x_{3}-y_{3}x_{2},\;y_{3}x_{1}-y_{1}x_{3},\;y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}\bigr).

Passo 3

Observe que cada coordenada de v\times u é o negativo da coordenada correspondente de u\times v. De fato:
y_{2}x_{3}-y_{3}x_{2} = -\bigl(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\bigr),
y_{3}x_{1}-y_{1}x_{3} = -\bigl(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\bigr),
y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1} = -\bigl(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\bigr).

Passo 4

Portanto
v\times u =-\bigl(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},\;x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},\;x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\bigr) =-\,(u\times v).
Isolando u\times v, concluímos
u\times v=-\,(v\times u).

Resposta

u\times v=-\,\bigl(v\times u\bigr).

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