Sejam U=[lla & b c & d] rvert, a+b+c=0 e W=[lla & b c & d] rvert, b+2 d=0 dois subespaços vetoriais de M2. Determine os geradores de U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e , cada um definido por uma condição específica:
  • : Conjunto das matrizes onde .
  • : Conjunto das matrizes onde .
A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de subespaços vetoriais e suas interseções. O que precisamos fazer é encontrar os geradores do conjunto , ou seja, matrizes que satisfazem as duas condições simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são as matrizes em a & b c & d e .
  • Uma matriz geral em pode ser escrita como:
com a condição . Isso significa que . Então, podemos expressar em termos de e .
  • Da mesma forma, uma matriz geral em também é uma matriz 2x2, mas com a condição . Aqui, pode ser expresso como .

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos que uma matriz satisfaça as duas condições ao mesmo tempo:
Vamos usar essas duas equações para expressar algumas variáveis em termos de outras.

Passo 4

Da segunda equação a + b + c = 0 Rightarrow a = -b - c , já sabemos que a = -b - c e d = -b2 .
Substituindo isso na primeira equação:
Então, agora temos:

Passo 5

Agora, vamos escrever a matriz geral em a & b c & d = - b - c & b c & -b2 usando essas expressões:

[


]
Aqui, e são nossos parâmetros livres, ou seja, podemos escolher valores para e e construir as matrizes.

Passo 6

Vamos separar a matriz em combinação linear de - b - c & b c & -b2 = b -1 & 1 0 & -12 + c -1 & 0 1 & 0 e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das duas matrizes que multiplicamos por e .

Passo 7

Portanto, os geradores de -1 & 1 0 & -12 e -1 & 0 1 & 0 são as matrizes que multiplicamos por e :

Resposta

Os geradores de -1 & 1 0 & -12 e -1 & 0 1 & 0 são as matrizes

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