Determine o valor de k para que sejam coplanares o vetores u=(2 ;-1 ; k), v=(1 ; 0 ; 2) e w=(k ; 0 ; k).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente ao conceito de vetores coplanares. Para resolver isso, vamos utilizar o determinante, que nos ajuda a verificar se três vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que três vetores são coplanares se o determinante formado por suas componentes for igual a zero. Ou seja:
2 & -1 & k 1 & 0 & 2 k & 0 & k = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular esse determinante. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
a & b & c d & e & f g & h & i = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
Aplicando isso aos nossos vetores:
2 cdot 0 cdot k + (-1) cdot 2 cdot k + k cdot 1 cdot 0 - k cdot 0 cdot k - (-1) cdot 1 cdot k - 2 cdot 2 cdot 0

Passo 4

Simplificando cada termo:
2 cdot 0 cdot k = 0
(-1) cdot 2 cdot k = -2k
k cdot 1 cdot 0 = 0
- k cdot 0 cdot k = 0
- (-1) cdot 1 cdot k = +k
- 2 cdot 2 cdot 0 = 0
Então, somando todos esses termos:
0 - 2k + 0 + 0 + k + 0 = -k

Passo 5

Para que os vetores sejam coplanares, o determinante deve ser igual a zero:
-k = 0

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é .

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