Sejam
e
bases ordenadas de
. Encontre a matrizes mudança de base:
(a) ii.
(a) ii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre mudança de base em álgebra linear. A questão envolve várias bases diferentes para o espaço
e pede para encontrar a matriz de mudança de base específica, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma base em termos de outra e montar a matriz que faz essa transição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ordenada. Uma base ordenada de
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes e que, combinados, podem gerar qualquer vetor no plano. No nosso caso, temos a base padrão
e outras três bases
,
e
.
Passo 3
A matriz de mudança de base
transforma coordenadas de um vetor que estão na base
para coordenadas na base
. Basicamente, ela responde à pergunta: “Como eu represento os vetores da base
na base
?”
Passo 4
Para construir essa matriz, precisamos escrever cada vetor da base
em termos da base
. No caso, como
é a base padrão, os vetores já estão expressos de forma direta.
A base
é:
Passo 5
Vamos montar a matriz
colocando os vetores de
como colunas dessa matriz. Isso porque cada coluna da matriz de mudança de base representa um vetor da nova base expressa na base antiga.
Então, temos:
Passo 6
Esse resultado significa que, se você tiver um vetor
expresso na base
como
, então, para expressar
na base
, você multiplica a matriz
pelo vetor
.
Resposta
A matriz de mudança de base
é: