Sejam e .
(a) Determine um vetor ortogonal a e .
(b) Determine um vetor unitário ortogonal a e .
(c) Determine todos vetores ortogonais a e .
(d) Determine todos vetores unitários ortogonais a e .
Passo 1
O enunciado dá os vetores e e pede um vetor ortogonal a ambos, depois sua versão unitária e, em seguida, a descrição de todos esses vetores. Para isso vamos usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a e e depois normalizá-lo.
Passo 2
O produto vetorial é um vetor ortogonal a e . Calculando pela regra de Sarrus ou determinante:
Logo, (1,1,2) é ortogonal a u e v.
Passo 3
Para obter um vetor unitário tomamos w=utimesv=(1,1,2) e calculamos seu comprimento:
|w|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6
O vetor unitário é
w|w| =1raiz6,(1,1,2)
Passo 4
Todos os vetores ortogonais a u e v formam a reta gerada por w=(1,1,2). Assim,
,t,(1,1,2)mid tinR
Passo 5
Entre esses, os únicos unitários são os que têm norma 1, ou seja, para tneq0 deve valer |t||w|=1, isto é |t|raiz6=1, então t=pm1/raiz6. Logo,