Sejam u=(1,-1,0) e v=(1,1,-1).
(a) Determine um vetor ortogonal a u e v.
(b) Determine um vetor unitário ortogonal a u e v.
(c) Determine todos vetores ortogonais a u e v.
(d) Determine todos vetores unitários ortogonais a u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,-1,0) e v=(1,1,-1) e pede um vetor ortogonal a ambos, depois sua versão unitária e, em seguida, a descrição de todos esses vetores. Para isso vamos usar o produto vetorial para obter um vetor perpendicular a u e v e depois normalizá-lo.

Passo 2

O produto vetorial utimesv é um vetor ortogonal a u e v. Calculando pela regra de Sarrus ou determinante:
utimesv = i&j&k 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 = i[( -1)(-1)-0cdot1] -j[1cdot(-1)-0cdot1] +k[1cdot1-(-1)cdot1] =,(1,,1,,2)
Logo, (1,1,2) é ortogonal a u e v.

Passo 3

Para obter um vetor unitário tomamos w=utimesv=(1,1,2) e calculamos seu comprimento:
|w|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6
O vetor unitário é
w|w| =1raiz6,(1,1,2)

Passo 4

Todos os vetores ortogonais a u e v formam a reta gerada por w=(1,1,2). Assim,
,t,(1,1,2)mid tinR

Passo 5

Entre esses, os únicos unitários são os que têm norma 1, ou seja, para tneq0 deve valer |t||w|=1, isto é |t|raiz6=1, então t=pm1/raiz6. Logo,
lpm1raiz6,(1,1,2)r

Resposta

(a) (1,1,2)
(b) 1raiz6,(1,1,2)
(c) ,t,(1,1,2)mid tinR
(d) lpm1raiz6,(1,1,2)r

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