Sejam
e
dois
-espaços vetoriais. Se
for uma base de
e se
, mostre que existe uma única transformação linear
tal que
para cada
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois espaços vetoriais U e V sobre um corpo
, uma base
de U e uma lista de vetores
em V, existe e é única uma transformação linear
tal que
para todo
. O conteúdo aqui é a construção de transformações lineares a partir de uma base, usando coordenadas únicas.
Passo 2
Como
é base de U, qualquer vetor
pode ser escrito de modo único como combinação linear finita dos
:
Passo 3
Agora definimos
estendendo esse procedimento para os
. Em outras palavras, se
, colocamos:
Como a escrita de
Passo 4
Em particular, para cada baseador
temos
, pois nesse caso todos
exceto
.
Passo 5
Para ver unicidade, suponha que exista outra transformação linear
com
. Então, para qualquer
, a linearidade de
dá
Passo 6
Logo
em todo U, provando que a transformação é única.
Resposta
A transformação linear única é dada por
para todo
, e satisfaz
para cada
.