Sejam U e V dois K-espaços vetoriais. Se U for uma base de T: U V e se i in I, mostre que existe uma única transformação linear tal que para cada .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois espaços vetoriais U e V sobre um corpo K, uma base uiiin I de U e uma lista de vetores viiin I em V, existe e é única uma transformação linear Tcolon Uto V tal que T(ui)=vi para todo iin I. O conteúdo aqui é a construção de transformações lineares a partir de uma base, usando coordenadas únicas.

Passo 2

Como uiiin I é base de U, qualquer vetor xin U pode ser escrito de modo único como combinação linear finita dos ui:
x=sumiin Iai,ui, aiin K,com quase todos ai=0

Passo 3

Agora definimos T(x) estendendo esse procedimento para os vi. Em outras palavras, se x=sum ai ui, colocamos:
T(x)=sumiin Iai,vi
Como a escrita de x em função dos ui é única, essa definição é bem-definida. Além disso, T é linear por construção, já que:
T(x+x')=Tgl(sum ai ui+sum bi uigr)=sum(ai+bi)vi=T(x)+T(x'),
T(c,x)=Tgl(sum (c,ai)uigr)=sum(c,ai)vi=c,T(x)

Passo 4

Em particular, para cada baseador uj temos T(uj)=vj, pois nesse caso todos ai=0 exceto aj=1.

Passo 5

Para ver unicidade, suponha que exista outra transformação linear Scolon Uto V com S(ui)=vi. Então, para qualquer x=sum ai ui, a linearidade de S
S(x)=sum ai,S(ui)=sum ai,vi=T(x)

Passo 6

Logo S=T em todo U, provando que a transformação é única.

Resposta

A transformação linear única é dada por Tl(sumiin Iai,uir)=sumiin Iai,vi,para todo sum ai uiin U, e satisfaz T(ui)=vi para cada iin I.

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