Seja V uma base de v in V. Então para qualquer K existe uma única família v=sumi in I alphai ui de elementos em com suporte finito (i.e. o conjunto é finito) tal que . Ou seja também podemos definir “coordenadas” de um vetor se o espaço tiver dimensão infinita.

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: Temos um espaço vetorial V sobre um corpo K e uma base uiiin I. O que queremos mostrar é que todo vetor vin V pode ser escrito de forma única como combinação linear finita dos ui. Em outras palavras, existe exatamente uma família alphaiiin I com suporte finito tal que
v=sumiin Ialphai,ui

Passo 2

Prova da existência da representação: Por definição de base, uiiin I gera V. Isso significa que existe um número finito de índices i1,dots,inin I e escalares alphai1,dots,alphainin K tais que
v=sumk=1^nalphaik,uik
Basta então estender essa lista de escalares para uma família alphaiiin I definindo alphai=0 sempre que inotini1,dots,in. Assim construímos uma família com suporte finito que representa v.

Passo 3

Prova da unicidade da representação: Suponha que existam duas famílias de escalares com suporte finito, alphaiiin I e betaiiin I, tais que
sumiin Ialphai,ui=sumiin Ibetai,ui=v
Subtraindo as duas expressões, obtemos
sumiin I(alphai-betai),ui=0
Como ui é linearmente independente, cada coeficiente alphai-betai deve ser zero. Logo alphai=betai para todo i, provando que a família é única.

Resposta

Para todo vin V existe exatamente uma família finita de escalares alphaiiin I tal que
v=sumiin Ialphai,ui
isto garante a definição de coordenadas mesmo em dimensão infinita.

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