Seja
uma base de
. Então para qualquer
existe uma única família
de elementos em
com suporte finito (i.e. o conjunto
é finito) tal que
. Ou seja também podemos definir “coordenadas” de um vetor se o espaço tiver dimensão infinita.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: Temos um espaço vetorial V sobre um corpo
e uma base
. O que queremos mostrar é que todo vetor
pode ser escrito de forma única como combinação linear finita dos
. Em outras palavras, existe exatamente uma família
com suporte finito tal que
Passo 2
Prova da existência da representação: Por definição de base,
gera
. Isso significa que existe um número finito de índices
e escalares
tais que
Basta então estender essa lista de escalares para uma família
definindo
sempre que
. Assim construímos uma família com suporte finito que representa
.
Passo 3
Prova da unicidade da representação: Suponha que existam duas famílias de escalares com suporte finito,
e
, tais que
Subtraindo as duas expressões, obtemos
Como
é linearmente independente, cada coeficiente
deve ser zero. Logo
para todo
, provando que a família é única.
Resposta
Para todo
existe exatamente uma família finita de escalares
tal que
isto garante a definição de coordenadas mesmo em dimensão infinita.