Sejam u e v dois vetores não nulos no espaço euclidiano tridimensional. Sabe-se |u|=3,|v|=4 e o módulo da diferença entre eles é |u cdot v|=6. Calcule:
A) u cdot v !
B) o módulo de 2 u+3 v !

Passo 1

O enunciado dá dois vetores vec u,vec vin R^3 tais que lvertvec urvert=3, lvertvec vrvert=4 e lvert vec ucdotvec vrvert=6. O conteúdo usado será (1) a definição do produto escalar
vec ucdotvec v = lvertvec urvert,lvertvec vrvertcostheta,
onde theta é o ângulo entre eles, e (2) a fórmula da norma de combinação linear
lvert avec u + bvec vrvert^2 = a^2lvertvec urvert^2 + b^2lvertvec vrvert^2 + 2ab,(vec ucdotvec v)

Passo 2

De lvert vec ucdotvec vrvert = 6 segue que
vec ucdotvec v = 6 ou vec ucdotvec v = -6
Como geralmente se toma o caso agudo ( costheta>0), escolhemos
vec ucdotvec v = 6

Passo 3

Para calcular lvert 2vec u + 3vec vrvert, usamos
lvert 2vec u + 3vec vrvert^2 = 2^2lvertvec urvert^2 + 3^2lvertvec vrvert^2 + 2cdot2cdot3,(vec ucdotvec v)
Substituindo os valores:
lvert 2vec u + 3vec vrvert^2 = 4cdot3^2 + 9cdot4^2 +12cdot6 =36 +144 +72 =252
Logo
lvert 2vec u + 3vec vrvert = raiz252 = 6raiz7

Resposta

A) vec ucdotvec v = 6
B) lvert 2vec u + 3vec vrvert = 6raiz7

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