Sejam os vetores A=5,0 imath+8,0 jmath e B=-2,0 imath+1,5 jmath. Encontre os vetores:
A) A cdot B e interprete o resultado!
B) A x B e interprete o resultado!

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano:
A=5,0,hatimath + 8,0,hatjmath e
B=-2,0,hatimath + 1,5,hatjmath.
Pede-se o produto escalar AcdotB e o produto vetorial AtimesB.
Para isso vamos usar as definições: se A=(Ax,Ay) e B=(Bx,By), então
AcdotB=Ax Bx + Ay By
e, no caso bidimensional, o produto vetorial é um vetor perpendicular ao plano xy com componente
(AtimesB)z = Ax By - Ay Bx

Passo 2

Aplicando a fórmula do produto escalar:
AcdotB = (5,0),(-2,0) + (8,0),(1,5) = -10,0 + 12,0 = 2,0
Interpretação do resultado do escalar: como AcdotB=2,0>0, o ângulo entre A e B é agudo (menor que 90^circ) e o valor 2,0 mede a “projeção” de um vetor sobre o outro multiplicada pelos seus comprimentos.

Passo 3

Agora o produto vetorial. No plano xy, ele aponta na direção z com magnitude
(AtimesB)z = 5,0cdot1,5 ;-; 8,0cdot(-2,0) = 7,5 + 16,0 = 23,5
Portanto
AtimesB = 23,5,hat k
Interpretação do produto vetorial: a magnitude 23,5 é a área do paralelogramo formado por A e B, e a direção hat k (para fora do plano xy) indica que a rotação de A para B segue o sentido anti-horário.

Resposta

A) AcdotB = 2,0, que sendo positivo indica ângulo agudo entre os vetores.
B) AtimesB = 23,5,hat k, cujo módulo é a área do paralelogramo formado por A e B e aponta perpendicularmente ao plano.

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