Sejam
espaços vetoriais sobre
e
uma transformação linear.
(a) Prove que
é injetora
leva cada subconjunto l.i. de
em um subconjunto l.i. de
.
(b) Prove que se o conjunto
for l.i. em
, então
é l.i. em
.
(a) Prove que
(b) Prove que se o conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte:
- Espaços vetoriais
e sobre . - Uma transformação linear
.
O que nos pedem:
(a) Mostrar que é injetora se, e somente se,
leva cada subconjunto linearmente independente de
em um subconjunto linearmente independente de
.
(b) Mostrar que, se o conjunto é linearmente independente em
, então
é linearmente independente em
.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que, se o conjunto
Informações relevantes fornecidas:
-
é linear (ou seja, para todos e ). - Não há outras hipóteses adicionais sobre
(por exemplo, não foi dado que é sobrejetora).
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas bem devagar):
- Um conjunto
em um espaço vetorial é linearmente independente (l.i.) se, sempre que
com
, então todos os coeficientes são zero:
. Caso contrário o conjunto é linearmente dependente (l.d.).
- Uma transformação linear
é injetora quando implica . Uma forma equivalente: é injetora se e somente se , onde
- Usaremos a linearidade de
para passar combinações lineares em para combinações lineares em : .
Passo 3
Prova da direção (=>) de (a): suponha
injetora e mostre que imagens de quaisquer conjuntos l.i. são l.i.
Seja
linearmente independente. Queremos mostrar que
é linearmente independente em
.
Começamos supondo uma combinação linear das imagens que dá zero:
com
. Pela linearidade de
isso é
Isto significa que
. Como
é injetora,
, logo
Mas
é linearmente independente, então necessariamente
. Portanto não existe combinação não trivial das
que produza
, ou seja,
é linearmente independente. Isso prova a direção desejada.
Passo 4
Prova da direção (<=) de (a): suponha que toda imagem de conjunto l.i. é l.i., e mostre que
é injetora.
Queremos provar
. Argumento por contradição direta é curto e claro: suponha que
não seja injetora. Então existe
,
, tal que
. O conjunto
(um único vetor não nulo) é linearmente independente em
. Mas sua imagem é
, que é um conjunto linearmente dependente (qualquer conjunto que contém o vetor zero é l.d., porque
fornece uma combinação não trivial). Isso contradiz a hipótese de que
leva todo conjunto l.i. em conjunto l.i. Portanto não pode existir tal
com
. Conclui-se
, ou seja,
é injetora.
Passo 5
Conclusão da parte (a):
- Mostramos que se
é injetora então imagens de conjuntos l.i. são l.i. - Mostramos que se
leva todos os conjuntos l.i. em conjuntos l.i. então deve ser injetora.
Portanto
Passo 6
Prova da parte (b) (muito direta): suponha que
seja linearmente independente em
. Queremos mostrar que
é linearmente independente em
.
Considere uma combinação linear qualquer dos
que resulte no vetor zero:
com
. Aplique
em ambos os lados; usando linearidade obtém-se
Como
é linearmente independente, os coeficientes devem satisfazer
. Logo não existe combinação não trivial dos
que dê zero, isto é,
é linearmente independente. Fim da prova.
Passo 7
Comentário rápido e encorajador: a parte (b) é um caso particular do raciocínio usado na direção (=>) de (a), mas note que aqui não é preciso assumir que
é injetora globalmente — basta que as imagens dos vetores sejam l.i. para concluir que os vetores originais são l.i. Se estiver nervoso na prova, lembra: aplicar
a uma combinação linear é a técnica padrão para transportar dependência/independência entre domínios e imagens.
Resposta
(a)
é injetora
leva cada subconjunto linearmente independente de
em um subconjunto linearmente independente de
.\n
(b) Se é linearmente independente em
, então
é linearmente independente em
.
(b) Se