Sejam U, V espaços vetoriais sobre \mathbb{K} e T: U \rightarrow V uma transformação linear.
(a) Prove que T é injetora \Longleftrightarrow T leva cada subconjunto l.i. de U em um subconjunto l.i. de V.
(b) Prove que se o conjunto \left\{T\left(u_{1}\right), \ldots, T\left(u_{r}\right)\right\} for l.i. em V, então \left\{u_{1}, \ldots, u_{r}\right\} é l.i. em U.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte:
  • Espaços vetoriais U e V sobre \mathbb{K}.
  • Uma transformação linear T:U\to V.
O que nos pedem:
(a) Mostrar que T é injetora se, e somente se, T leva cada subconjunto linearmente independente de U em um subconjunto linearmente independente de V.
(b) Mostrar que, se o conjunto \left\{T\left(u_{1}\right),\ldots,T\left(u_{r}\right)\right\} é linearmente independente em V, então \left\{u_{1},\ldots,u_{r}\right\} é linearmente independente em U.
Informações relevantes fornecidas:
  • T é linear (ou seja, T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y) para todos \alpha,\beta\in\mathbb{K} e x,y\in U).
  • Não há outras hipóteses adicionais sobre T (por exemplo, não foi dado que T é sobrejetora).

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas bem devagar):
  • Um conjunto \{v_1,\dots,v_n\} em um espaço vetorial é linearmente independente (l.i.) se, sempre que
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n = 0
com \alpha_i\in\mathbb{K}, então todos os coeficientes são zero: \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. Caso contrário o conjunto é linearmente dependente (l.d.).
  • Uma transformação linear T é injetora quando T(x)=T(y) implica x=y. Uma forma equivalente: T é injetora se e somente se \ker(T)=\{0\}, onde
\ker(T)=\{u\in U \mid T(u)=0\}.
  • Usaremos a linearidade de T para passar combinações lineares em U para combinações lineares em V: T\big(\sum \alpha_i u_i\big)=\sum \alpha_i T(u_i).

Passo 3

Prova da direção (=>) de (a): suponha T injetora e mostre que imagens de quaisquer conjuntos l.i. são l.i.
Seja S=\{u_1,\dots,u_r\}\subseteq U linearmente independente. Queremos mostrar que T(S)=\{T(u_1),\dots,T(u_r)\} é linearmente independente em V.
Começamos supondo uma combinação linear das imagens que dá zero:
\alpha_1 T(u_1)+\cdots+\alpha_r T(u_r)=0,
com \alpha_i\in\mathbb{K}. Pela linearidade de T isso é
T\big(\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r\big)=0.
Isto significa que \alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r\in\ker(T). Como T é injetora, \ker(T)=\{0\}, logo
\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r = 0.
Mas S é linearmente independente, então necessariamente \alpha_1=\cdots=\alpha_r=0. Portanto não existe combinação não trivial das T(u_i) que produza 0, ou seja, T(S) é linearmente independente. Isso prova a direção desejada.

Passo 4

Prova da direção (<=) de (a): suponha que toda imagem de conjunto l.i. é l.i., e mostre que T é injetora.
Queremos provar \ker(T)=\{0\}. Argumento por contradição direta é curto e claro: suponha que T não seja injetora. Então existe u\in U, u\neq 0, tal que T(u)=0. O conjunto \{u\} (um único vetor não nulo) é linearmente independente em U. Mas sua imagem é \{T(u)\}=\{0\}, que é um conjunto linearmente dependente (qualquer conjunto que contém o vetor zero é l.d., porque 1\cdot 0=0 fornece uma combinação não trivial). Isso contradiz a hipótese de que T leva todo conjunto l.i. em conjunto l.i. Portanto não pode existir tal u\neq 0 com T(u)=0. Conclui-se \ker(T)=\{0\}, ou seja, T é injetora.

Passo 5

Conclusão da parte (a):
  • Mostramos que se T é injetora então imagens de conjuntos l.i. são l.i.
  • Mostramos que se T leva todos os conjuntos l.i. em conjuntos l.i. então T deve ser injetora.
    Portanto
T \text{ é injetora } \Longleftrightarrow \text{ para todo } S\subseteq U \text{ l.i., } T(S) \text{ é l.i. em } V.éé

Passo 6

Prova da parte (b) (muito direta): suponha que \{T(u_1),\ldots,T(u_r)\} seja linearmente independente em V. Queremos mostrar que \{u_1,\ldots,u_r\} é linearmente independente em U.
Considere uma combinação linear qualquer dos u_i que resulte no vetor zero:
\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r = 0,
com \alpha_i\in\mathbb{K}. Aplique T em ambos os lados; usando linearidade obtém-se
\alpha_1 T(u_1)+\cdots+\alpha_r T(u_r) = T(0) = 0.
Como \{T(u_1),\ldots,T(u_r)\} é linearmente independente, os coeficientes devem satisfazer \alpha_1=\cdots=\alpha_r=0. Logo não existe combinação não trivial dos u_i que dê zero, isto é, \{u_1,\ldots,u_r\} é linearmente independente. Fim da prova.

Passo 7

Comentário rápido e encorajador: a parte (b) é um caso particular do raciocínio usado na direção (=>) de (a), mas note que aqui não é preciso assumir que T é injetora globalmente — basta que as imagens dos vetores sejam l.i. para concluir que os vetores originais são l.i. Se estiver nervoso na prova, lembra: aplicar T a uma combinação linear é a técnica padrão para transportar dependência/independência entre domínios e imagens.

Resposta

(a) T é injetora \Longleftrightarrow T leva cada subconjunto linearmente independente de U em um subconjunto linearmente independente de V.\n
(b) Se \{T(u_1),\ldots,T(u_r)\} é linearmente independente em V, então \{u_1,\ldots,u_r\} é linearmente independente em U.

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