Decida se os polinômios u, v, w de P(t) são linearmente dependentes ou independentes.
(b) u=t^3-5 t^2-2 t+3, v=t^3-4 t^2-3 t+4, w=2 t^3-17 t^2-7 t+9.

Passo 1

O enunciado pergunta se os polinômios
u=t^3-5t^2-2t+3, v=t^3-4t^2-3t+4, w=2t^3-17t^2-7t+9
são linearmente dependentes ou independentes em P3. Para isso, vamos usar a definição: eles são independentes se a única combinação linear
a,u + b,v + c,w = 0
é aquela em que a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e igualamos ao polinômio zero. Como dois polinômios são iguais se e somente se todos os coeficientes coincidirem, obtemos o sistema
a,u + b,v + c,w = (a+b+2c),t^3 + (-5a-4b-17c),t^2 + (-2a-3b-7c),t + (3a+4b+9c) = 0
Deste modo, o sistema de equações lineares é
a + b + 2c = 0, -5a -4b -17c = 0, -2a -3b -7c = 0, 3a +4b +9c = 0

Passo 3

Da primeira equação isolamos
a = -,b - 2c
Substituímos em cada uma das outras:
— Na segunda:
-5(-b-2c) -4b -17c = 5b +10c -4b -17c = b -7c = 0 Longrightarrow b = 7c
— Na terceira:
-2(-b-2c) -3b -7c = 2b +4c -3b -7c = -,b -3c = 0 Longrightarrow b = -3c

Passo 4

Das duas expressões para b temos
7c = -3c Longrightarrow 10c = 0 Longrightarrow c=0
Logo b=0 e, pela expressão de a, a=-b-2c=0. Substituindo em qualquer das equações confirma-se que não há contradição.

Passo 5

Como a única solução do sistema homogêneo é a=b=c=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial de u,v,w que dê o polinômio nulo.

Resposta

Os polinômios u,v,w são linearmente independentes.

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