Mostre que as funções
dadas são linearmente independentes.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
,
e
são linearmente independentes. Isso significa provar que, se existirem constantes reais
tais que
então necessariamente
. Vamos usar o valor da combinação em pontos estratégicos e também derivar para eliminar termos.
Passo 2
Suponha que existam
com
Em particular, para
temos
Passo 3
Com
, a identidade fica
Denote
. Então
para todo
.
Passo 4
Derivando
obtemos
Como
, também
. Em
isso dá
Passo 5
Agora, com
, a identidade original reduz-se a
Escolhendo, por exemplo,
obtemos
, logo
.
Resposta
As únicas constantes que satisfazem
são
. Portanto,
,
e
são linearmente independentes.