Mostre que as funções f, g, h dadas são linearmente independentes.
(a) f(t)=e^t, g(t)=sen t, h(t)=t^2 ;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções f(t)=e^t, g(t)=sin t e h(t)=t^2 são linearmente independentes. Isso significa provar que, se existirem constantes reais a,b,c tais que
a,e^t+b,sin t+c,t^2=0 para todo tinR,
então necessariamente a=b=c=0. Vamos usar o valor da combinação em pontos estratégicos e também derivar para eliminar termos.

Passo 2

Suponha que existam a,b,cinR com
a,e^t+b,sin t+c,t^2=0 forall t
Em particular, para t=0 temos
a,e^0+b,sin 0+ccdot0^2=0 Longrightarrow acdot1+ bcdot0 +0 =0 Longrightarrow a=0

Passo 3

Com a=0, a identidade fica
b,sin t+c,t^2=0 forall t
Denote H(t)=b,sin t+c,t^2. Então H(t)=0 para todo t.

Passo 4

Derivando H(t) obtemos
H'(t) =;b,cos t+2c,t
Como H(t)equiv0, também H'(t)equiv0. Em t=0 isso dá
H'(0)=b,cos0+2ccdot0= bcdot1 +0 =0 Longrightarrow b=0

Passo 5

Agora, com b=0, a identidade original reduz-se a
c,t^2=0 forall t
Escolhendo, por exemplo, t=1 obtemos ccdot1^2=0, logo c=0.

Resposta

As únicas constantes que satisfazem
a,e^t+b,sin t+c,t^2=0 forall t
são a=b=c=0. Portanto, f, g e h são linearmente independentes.

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