Sejam 
a) Mostrar que 
b) Determinar a norma de 
a) Mostrar que
b) Determinar a norma de
Passo 1
Vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre produtos internos e normas no espaço vetorial 
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a): mostrar que
define um produto interno em 
Um produto interno precisa satisfazer quatro propriedades básicas:
- Comutatividade: 
- Linearidade em cada componente.
- Positividade: 
- Definitude: 
se e somente se 
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a expressão dada.
Passo 3
1. Comutatividade:
Vamos trocar 
Observando os termos, vemos que:
Portanto, 
2. Linearidade:
Vamos verificar se o produto é linear em 
Isso pode ser facilmente verificado expandindo as expressões. Portanto, a linearidade está satisfeita.
3. Positividade:
Calculamos 
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero.
4. Definitude:
Precisamos garantir que 
A forma quadrática 
Para que a forma quadrática seja positiva definida, todos os seus autovalores devem ser positivos, o que é verdade para essa matriz. Portanto, as propriedades de positivdade e definitude estão satisfeitas.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): determinar a norma do vetor 
Primeiro, o produto interno usual em 
A norma é a raiz quadrada disso:
Substituindo 
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de 
Então, a norma é:
Resposta
a) Sim, a expressão 
b) A norma de 
- Usando o produto interno usual: 
- Usando o produto interno definido no item a): 
