1. Sejam u=x+y e v=\frac{y}{x}. Calcule o determinante jacobiano \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}.
  2. Calcule:
    \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)} sendo F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e G(x, y, z)=x+y+z.

Passo 1

Temos duas questões para resolver.
Primeira (n.º 10): nos dão \;u=x+y\; e \;v=\dfrac{y}{x}\; e pedem o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}.
Segunda (n.º 11): nos dão F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e G(x,y,z)=x+y+z e pedem o determinante jacobiano \dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}.
As informações relevantes estão todas acima; não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Definição e fórmula útil: para duas funções \;u(x,y) e \;v(x,y), o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é o determinante da matriz 2\times2 das derivadas parciais, isto é
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y}\\[6pt] \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}.
Significado rápido: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando só x varia (mantendo y fixo), e assim por diante. Para calcular o determinante usamos a regra usual do determinante ad-bc.]

Passo 3

Começando pela questão 10: escrevo as funções
u(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=\frac{y}{x}=y\cdot x^{-1}.
Como v tem divisão por x, vale lembrar que estamos assumindo x\neq 0 (senão v não está definida).

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de u e v:
Para u=x+y:
\frac{\partial u}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=1,
porque a derivada de x em relação a x é 1 e de y em relação a x é 0, e simetricamente para a derivada em relação a y.
Para v=y\cdot x^{-1}:
usar v=y\cdot x^{-1} facilita — ao derivar em relação a x tratamos y como constante, logo
\frac{\partial v}{\partial x}=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
Ao derivar em relação a y tratamos x como constante, então
\frac{\partial v}{\partial y}=x^{-1}=\frac{1}{x}.
(Alternativa: aplicar a regra do quociente para \dfrac{y}{x} dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Agora monto o determinante jacobiano e calculo:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} 1 & 1\\[4pt] -\dfrac{y}{x^{2}} & \dfrac{1}{x} \end{vmatrix} =1\cdot\frac{1}{x}-1\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) =\frac{1}{x}+\frac{y}{x^{2}}.
Colocando em denominador comum x^{2}:
\frac{1}{x}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{x+y}{x^{2}}.
Como x+y=u, podemos escrever também \dfrac{u}{x^{2}}. Lembre-se: válido para x\neq 0.]

Passo 6

Passo para a questão 11. Aqui F e G dependem de x,y,z; quando pedem \dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} significa usar as derivadas parciais de F e G em relação a x e y, tratando z como constante ao derivar (ou seja, derivadas parciais padrão em multivariáveis).

Passo 7

Calculo as derivadas parciais de F e G:
Para F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x\quad(\text{pois }z\text{ e }y\text{ são tratados como constantes}), \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y.ã
Para G(x,y,z)=x+y+z:
\frac{\partial G}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial G}{\partial y}=1,
pois z é tratado como constante e a derivada de x é 1, de y é 1.

Passo 8

Monto o determinante jacobiano e calculo:
\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} 2x & 2y\\[4pt] 1 & 1 \end{vmatrix} =2x\cdot1-2y\cdot1=2x-2y=2(x-y).]

Resposta

\displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\frac{x+y}{x^{2}}
\displaystyle \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}=2(x-y)

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