Sejam u=x+y e v=\frac{y}{x}. Calcule o determinante jacobiano \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}.
Calcule: \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)} sendo F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e G(x, y, z)=x+y+z.
Passo 1
Temos duas questões para resolver.
Primeira (n.º 10): nos dão \;u=x+y\; e \;v=\dfrac{y}{x}\; e pedem o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}.
Segunda (n.º 11): nos dão F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e G(x,y,z)=x+y+z e pedem o determinante jacobiano \dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}.
As informações relevantes estão todas acima; não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Definição e fórmula útil: para duas funções \;u(x,y) e \;v(x,y), o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é o determinante da matriz 2\times2 das derivadas parciais, isto é
Significado rápido: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando só x varia (mantendo y fixo), e assim por diante. Para calcular o determinante usamos a regra usual do determinante ad-bc.]
Como x+y=u, podemos escrever também \dfrac{u}{x^{2}}. Lembre-se: válido para x\neq 0.]
Passo 6
Passo para a questão 11. Aqui F e G dependem de x,y,z; quando pedem \dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} significa usar as derivadas parciais de F e G em relação a x e y, tratando z como constante ao derivar (ou seja, derivadas parciais padrão em multivariáveis).
Passo 7
Calculo as derivadas parciais de F e G:
Para F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x\quad(\text{pois }z\text{ e }y\text{ são tratados como constantes}), \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y.ã