Exercício 15. (F. 7.1, ex.5) Seja ft(x)=1raiz4 pi t e^-x^24 t. Mostre que ft * fs=ft+s.

Passo 1

O enunciado define, para t>0, a função
ft(x)=1raiz4pi texp!gl(-x^24tgr)
e pede para mostrar que a convolução
(ft*fs)(y)=integral-infty^inftyft(x),fs(y-x),dx
é igual a ft+s(y). O conteúdo necessário é a definição de convolução e o método de completar o quadrado em integrais gaussianas.

Passo 2

Escrevemos a convolução usando as definições de ft e fs:
(ft*fs)(y) =integral-infty^infty1raiz4pi texp!l(-tfracx^24tr) cdot1raiz4pi sexp!l(-tfrac(y-x)^24sr),dx

Passo 3

Extraímos os fatores constantes:
(ft*fs)(y) =1raiz4pi t,raiz4pi s integral-infty^infty exp!l(-tfracx^24t-tfrac(y-x)^24sr),dx

Passo 4

No expoente, combinamos termos em x:
-x^24t-(y-x)^24s =-s,x^2+t,(y-x)^24st =-(s+t)l(x-t,ys+tr)^24st ;-;y^24(s+t)

Passo 5

Portanto
(ft*fs)(y) =e^-y^24(s+t)4piraizts integral-infty^infty exp!l(-tfracs+t4stl(x-tfract,ys+tr)^2r),dx

Passo 6

Fazemos a mudança de variável
u=raizs+t4stl(x-t,ys+tr), dx=raiz4sts+t,du,
de modo que
integral-infty^infty exp!l(-tfracs+t4stl(x-tfract,ys+tr)^2r),dx =raiz4sts+tintegral-infty^inftye^-u^2,du =raiz4pi,s ts+t

Passo 7

Substituindo de volta no passo anterior, obtemos
(ft*fs)(y) =e^-y^24(s+t)4piraizts raiz4pi,s ts+t =1raiz4pi,(s+t)exp!l(-y^24(s+t)r) =ft+s(y)

Resposta

ft*fs=ft+s

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