Exercício 15. (F. 7.1, ex.5) Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define, para
, a função
e pede para mostrar que a convolução
é igual a
. O conteúdo necessário é a definição de convolução e o método de completar o quadrado em integrais gaussianas.
Passo 2
Escrevemos a convolução usando as definições de
e
:
Passo 3
Extraímos os fatores constantes:
Passo 4
No expoente, combinamos termos em
:
Passo 5
Portanto
Passo 6
Fazemos a mudança de variável
de modo que
Passo 7
Substituindo de volta no passo anterior, obtemos