Sejam A e B matrizes quaisquer no espaço vetorial das matrizes de ordem n. A única das relações dadas abaixo, que representa um produto interno no espaço mencionado, é:
a) \langle A, B\rangle=\operatorname{det}\left(B^{t} A\right);
b) \langle A, B\rangle=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B);
c) \langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}(A+B);
d) \langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B^{t} A\right);
e) \langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}(A) \operatorname{Tr}(B).

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique, no espaço vetorial de matrizes n\times n, qual das formas \langle A,B\rangle dadas satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. bilinearidade em cada argumento;
  2. simetria \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle;
  3. positividade definida \langle A,A\rangle>0 para toda matriz A\neq0.

Passo 2

Analisando a alternativa (a), \langle A,B\rangle=\det(B^tA).
A função \det não é linear em A (por exemplo, \det(B^t(A_1+A_2))\neq\det(B^tA_1)+\det(B^tA_2)). Além disso, para A\neq0 pode acontecer \det(A^tA)=0 (se A não for de posto completo), violando positividade definida. Logo, (a) falha.

Passo 3

Na alternativa (b), \langle A,B\rangle=\det(A)\,\det(B).
Claramente não é bilinear em A (pois \det(A_1+A_2)\neq\det(A_1)+\det(A_2)), então falha já em bilinearidade.
Na alternativa (c), \langle A,B\rangle=\Tr(A+B).
Isso não é nem bilinear em A nem em B; por exemplo, \langle A_1+A_2,B\rangle=\Tr(A_1+A_2+B)\neq\Tr(A_1+B)+\Tr(A_2+B).

Passo 4

Na alternativa (e), \langle A,B\rangle=\Tr(A)\,\Tr(B).
Isto é bilinear e simétrico, mas falha em positividade definida: se A\neq0 porém \Tr(A)=0, então \langle A,A\rangle=(\Tr(A))^2=0.

Passo 5

Na alternativa (d), \langle A,B\rangle=\Tr(B^tA).
  1. Bilinearidade: \Tr(B^t(\alpha A_1+\beta A_2))=\alpha\,\Tr(B^tA_1)+\beta\,\Tr(B^tA_2).
  2. Simetria: \Tr(B^tA)=\Tr((B^tA)^t)=\Tr(A^tB)=\Tr(A^tB).
  3. Positividade: \langle A,A\rangle=\Tr(A^tA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2>0 quando A\neq0.
Portanto, só (d) satisfaz todas as propriedades de um produto interno.

Resposta

(d) \langle A,B\rangle=\Tr(B^tA)

Exercícios relacionados