Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada:
f: C^3 times C^3 C dada por f(u, v)=<u, a><v, b>, com a, b in C^3 fixos, com relação à base canônica de C^3.

Passo 1

O enunciado dá a forma bilinear f:C^3timesC^3toC definida por
f(u,v)=lang<= u,arang<=;cdot;lang<= v,brang<=,
onde a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3) são vetores fixos, e pede a matriz de f na base canônica de C^3. Para isso usamos a identificação
lang<= u,arang<= = u^Ta, lang<= v,brang<= = v^Tb,
e a representação de qualquer forma bilinear como
f(u,v)=u^TMv
para uma matriz M.

Passo 2

Substituindo as expressões do produto interno,
f(u,v)=(u^Ta),(v^Tb)

Passo 3

Reescrevemos o produto escalar como produto matricial de u^T, de uma matriz e de v. Note que
(u^Ta),(v^Tb) = u^Tl(a,b^Tr),v,
pois a,b^T é a matriz 3times3 de posto 1 com entradas (a,b^T)ij=aibj.

Passo 4

Concluímos que a matriz de f na base canônica é
M = a,b^T = a1b1 & a1b2 & a1b3 a2b1 & a2b2 & a2b3 a3b1 & a3b2 & a3b3

Resposta

M = a,b^T

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