Sejam V um \mathbb{K}-espaço de dimensão finita e T, S operadores lineares em V. Determine condições necessárias e suficientes em T e S para que existam bases \mathcal{B} e \mathcal{C} nas quais [T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar condições necessárias e suficientes sobre os operadores lineares T,S:V\to V (com \dim V<\infty) para que existam bases ordenadas \mathcal{B} e \mathcal{C} de V tais que
[T]_{\mathcal{B}} = [S]_{\mathcal{C}}.
Informações relevantes dadas:
  • V é um espaço vetorial sobre \mathbb{K} e tem dimensão finita.
  • T e S são endomorfismos de V.
  • Deve-se dar uma condição que seja tanto necessária quanto suficiente (isto é, uma equivalência) para a existência das bases \mathcal{B},\mathcal{C} com as matrizes iguais.

Passo 2

Primeira ideia-chave (intuição): se duas matrizes são iguais, então representam a mesma “ação numérica” em coordenadas: dado um vetor coordenado x a multiplicação por essa matriz dá a transformação. Se [T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}=A, então, intuitivamente, T e S têm a mesma descrição matricial em duas escolhas de coordenadas. Isso sugere que existe um isomorfismo linear que leva a base \mathcal{B} na base \mathcal{C} e que conjugue T em S. Vamos formalizar isso.

Passo 3

Mostrando que a existência de uma conjugação por um automorfismo é suficiente.
Suponha que exista um isomorfismo linear invertível U:V\to V tal que
S = U\,T\,U^{-1}.
Escolha qualquer base ordenada \mathcal{B}=(b_1,\dots,b_n) de V e defina \mathcal{C}=U(\mathcal{B})=(U(b_1),\dots,U(b_n)). A norma usual para mudanças de base dá que as matrizes de T em \mathcal{B} e de S em \mathcal{C} são idênticas. Mais explicitamente, se [T]_{\mathcal{B}}=A então, para cada j,
T(b_j)=\sum_i A_{ij} b_i.
Aplicando U e usando S=UTU^{-1} obtemos
S(U(b_j)) = U(T(b_j)) = U\!\Big(\sum_i A_{ij} b_i\Big)=\sum_i A_{ij} U(b_i).
Isto mostra que [S]_{\mathcal{C}}=A=[T]_{\mathcal{B}}. Portanto, S=U T U^{-1} implica existência de \mathcal{B},\mathcal{C} com [T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}.

Passo 4

Mostrando que a condição é necessária: construir U a partir das bases.
Agora suponha que existam bases ordenadas \mathcal{B}=(b_1,\dots,b_n) e \mathcal{C}=(c_1,\dots,c_n) tais que
[T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}=A.
Defina U:V\to V impondo U(b_i)=c_i para cada i e estendendo linearmente. Como U manda uma base em outra, U é invertível. Para ver que S=U T U^{-1} verifique sua ação sobre os vetores da base \mathcal{C}: para todo j,
U T U^{-1}(c_j) = U T(b_j) = U\!\Big(\sum_i A_{ij} b_i\Big)=\sum_i A_{ij} c_i = S(c_j).
Como dois endomorfismos que coincidem em uma base coincidem em todo o espaço, concluímos S=U T U^{-1}. Logo, a existência de bases com matrizes iguais força que S e T sejam conjugados por um automorfismo de V.

Passo 5

Conclusão operatória imediata (condição equivalente e mais direta).
Juntando Passo 3 e Passo 4 obtemos a equivalência exata e simples:
\text{Existem bases } \mathcal{B},\mathcal{C}\text{ com }[T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\\ U\in\operatorname{GL}(V)\text{ tal que }S=U\,T\,U^{-1}.
Em palavras: é necessário e suficiente que S e T sejam conjugados por um automorfismo de V. Em teoria de operadores esse relacionamento é chamado simplesmente de similaridade (ou conjugação) entre os endomorfismos.

Passo 6

Interpretação em termos de invariantes (como verificar na prática).
A afirmação anterior é conceitual; para verificar na prática quando S e T são conjugados usamos invariantes que caracterizam a classe de similaridade:
  • Dois endomorfismos de um espaço vetorial de dimensão finita são conjugados se e somente se têm a mesma forma canônica racional (canonical rational form). Uma maneira equivalente de dizer isto é: eles têm os mesmos fatores invariantes (ou os mesmos polinômios invariantes que dividem-se um no outro numa cadeia).
  • Se o corpo \mathbb{K} for alg. fechado (por exemplo \mathbb{C}), então a forma canônica mais conhecida é a forma de Jordan: T e S são conjugados se e somente se têm o mesmo polinômio característico e, para cada autovalor \lambda, os blocos de Jordan (tamanhos e multiplicidades) de T e de S coincidem.
Esses invariantes práticos que se igualam em ambos os operadores são:
  • o polinômio característico \chi_T(t) e \chi_S(t) (devem coincidir);
  • o polinômio minimal \mu_T(t) e \mu_S(t) (devem coincidir);
  • e mais fortemente, os fatores invariantes / divisores elementares (que determinam a forma racional, ou os blocos de Jordan quando aplicável).

Passo 7

Breve explicação dos conceitos usados (didática passo a passo, sem pular etapas).
  • Polinômio característico: \chi_T(t)=\det(tI - [T]_{\mathcal{B}}). Não depende da base escolhida.
  • Polinômio minimal: \mu_T(t) é o polinômio monico de menor grau tal que \mu_T(T)=0. Também é invariante por mudança de base.
  • Fatores invariantes / decomposição ciclíca: existe uma decomposição canônica do espaço em subespaços cíclicos para T que dá uma matriz bloco diagonal em forma racional; os polinômios que aparecem nesses blocos (fatores invariantes) são invariante completa da classe de similaridade.
  • Forma de Jordan: quando \mathbb{K} é alg. fechado, cada fator invariável corresponde a blocos de Jordan para autovalores específicos; as multiplicidades e tamanhos desses blocos determinam completamente a classe de similaridade.
Em termos práticos para uma prova: para decidir se existem bases com [T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}} (ou seja, se T e S são similares) pode-se:
  1. Calcular \chi_T(t) e \chi_S(t) e conferir se coincidem.
  2. Calcular \mu_T(t) e \mu_S(t) e conferir se coincidem.
  3. (Se necessário) determinar os fatores invariantes ou a forma de Jordan e verificar coincidência completa.

Passo 8

Como construir explicitamente as bases quando a condição for satisfeita (receita prática).
Se S=U T U^{-1} for conhecida para algum U, então:
  • escolha uma base \mathcal{B} qualquer (por exemplo, uma base canônica ou a base que reduz T à sua forma racional/Jordan);
  • defina \mathcal{C}=U(\mathcal{B});
  • então [T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}.
Se apenas se sabe que T e S têm a mesma forma canônica (por invariantes), constrói-se uma base que põe T nessa forma canônica e outra base que põe S na mesma forma. Por construção as matrizes nessas bases serão iguais.

Resposta

Existem bases \mathcal{B} e \mathcal{C} tais que [T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}} se, e somente se, existe um automorfismo invertível U\in\operatorname{GL}(V) com
S = U\,T\,U^{-1}.
Equivalentemente, T e S pertencem à mesma classe de similaridade; em termos de invariantes isto significa que têm os mesmos fatores invariantes (mesma forma canônica racional) — e, se \mathbb{K} for alg. fechado, têm a mesma forma de Jordan (mesmos blocos de Jordan para cada autovalor).

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