Sejam
um
-espaço de dimensão finita e
operadores lineares em
. Determine condições necessárias e suficientes em
e
para que existam bases
e
nas quais
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar condições necessárias e suficientes sobre os operadores lineares
(com
) para que existam bases ordenadas
e
de
tais que
Informações relevantes dadas:
-
é um espaço vetorial sobre e tem dimensão finita. -
e são endomorfismos de . - Deve-se dar uma condição que seja tanto necessária quanto suficiente (isto é, uma equivalência) para a existência das bases
com as matrizes iguais.
Passo 2
Primeira ideia-chave (intuição): se duas matrizes são iguais, então representam a mesma “ação numérica” em coordenadas: dado um vetor coordenado
a multiplicação por essa matriz dá a transformação. Se
, então, intuitivamente,
e
têm a mesma descrição matricial em duas escolhas de coordenadas. Isso sugere que existe um isomorfismo linear que leva a base
na base
e que conjugue
em
. Vamos formalizar isso.
Passo 3
Mostrando que a existência de uma conjugação por um automorfismo é suficiente.
Suponha que exista um isomorfismo linear invertível
tal que
Escolha qualquer base ordenada
de
e defina
. A norma usual para mudanças de base dá que as matrizes de
em
e de
em
são idênticas. Mais explicitamente, se
então, para cada
,
Aplicando
e usando
obtemos
Isto mostra que
. Portanto,
implica existência de
com
.
Passo 4
Mostrando que a condição é necessária: construir
a partir das bases.
Agora suponha que existam bases ordenadas
e
tais que
Defina
impondo
para cada
e estendendo linearmente. Como
manda uma base em outra,
é invertível. Para ver que
verifique sua ação sobre os vetores da base
: para todo
,
Como dois endomorfismos que coincidem em uma base coincidem em todo o espaço, concluímos
. Logo, a existência de bases com matrizes iguais força que
e
sejam conjugados por um automorfismo de
.
Passo 5
Conclusão operatória imediata (condição equivalente e mais direta).
Juntando Passo 3 e Passo 4 obtemos a equivalência exata e simples:
Em palavras: é necessário e suficiente que
e
sejam conjugados por um automorfismo de
. Em teoria de operadores esse relacionamento é chamado simplesmente de similaridade (ou conjugação) entre os endomorfismos.
Passo 6
Interpretação em termos de invariantes (como verificar na prática).
A afirmação anterior é conceitual; para verificar na prática quando
e
são conjugados usamos invariantes que caracterizam a classe de similaridade:
- Dois endomorfismos de um espaço vetorial de dimensão finita são conjugados se e somente se têm a mesma forma canônica racional (canonical rational form). Uma maneira equivalente de dizer isto é: eles têm os mesmos fatores invariantes (ou os mesmos polinômios invariantes que dividem-se um no outro numa cadeia).
- Se o corpo
for alg. fechado (por exemplo ), então a forma canônica mais conhecida é a forma de Jordan: e são conjugados se e somente se têm o mesmo polinômio característico e, para cada autovalor , os blocos de Jordan (tamanhos e multiplicidades) de e de coincidem.
Esses invariantes práticos que se igualam em ambos os operadores são:
- o polinômio característico
e (devem coincidir); - o polinômio minimal
e (devem coincidir); - e mais fortemente, os fatores invariantes / divisores elementares (que determinam a forma racional, ou os blocos de Jordan quando aplicável).
Passo 7
Breve explicação dos conceitos usados (didática passo a passo, sem pular etapas).
- Polinômio característico:
. Não depende da base escolhida. - Polinômio minimal:
é o polinômio monico de menor grau tal que . Também é invariante por mudança de base. - Fatores invariantes / decomposição ciclíca: existe uma decomposição canônica do espaço em subespaços cíclicos para
que dá uma matriz bloco diagonal em forma racional; os polinômios que aparecem nesses blocos (fatores invariantes) são invariante completa da classe de similaridade. - Forma de Jordan: quando
é alg. fechado, cada fator invariável corresponde a blocos de Jordan para autovalores específicos; as multiplicidades e tamanhos desses blocos determinam completamente a classe de similaridade.
Em termos práticos para uma prova: para decidir se existem bases com
(ou seja, se
e
são similares) pode-se:
- Calcular
e e conferir se coincidem. - Calcular
e e conferir se coincidem. - (Se necessário) determinar os fatores invariantes ou a forma de Jordan e verificar coincidência completa.
Passo 8
Como construir explicitamente as bases quando a condição for satisfeita (receita prática).
Se
for conhecida para algum
, então:
- escolha uma base
qualquer (por exemplo, uma base canônica ou a base que reduz à sua forma racional/Jordan); - defina
; - então
.
Se apenas se sabe que
e
têm a mesma forma canônica (por invariantes), constrói-se uma base que põe
nessa forma canônica e outra base que põe
na mesma forma. Por construção as matrizes nessas bases serão iguais.
Resposta
Existem bases
e
tais que
se, e somente se, existe um automorfismo invertível
com
Equivalentemente,
e
pertencem à mesma classe de similaridade; em termos de invariantes isto significa que têm os mesmos fatores invariantes (mesma forma canônica racional) — e, se
for alg. fechado, têm a mesma forma de Jordan (mesmos blocos de Jordan para cada autovalor).