Considere um \mathbb{K}-espaço vetorial de dimensão finita V e um subespaço W \subset V. Dizemos que um subespaço U de V traduz o quociente V / W se cada classe de equivalência está unicamente representada em U, isto é, se, para cada \bar{v} \in V / W, existe um único u \in U tal que \bar{v}=\bar{u}.
(a) Exiba um subespaço que traduza \mathbb{R}^{3} / W, onde W=\left[\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right)\right].
(b) Sendo W como no item (a), mostre que se U_{1} e U_{2} são dois subespaços distintos de \mathbb{R}^{3} que traduzem \mathbb{R}^{3} / W, então \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)>0.
(c) Seja agora W um plano em \mathbb{R}^{4}, isto é, um subespaço de dimensão dois. É possível obter U_{1} e U_{2} subsespaços que traduzem \mathbb{R}^{4} / W tais que U_{1} \oplus U_{2}=\mathbb{R}^{4} ?
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão finita e um subespaço W\subset V. Define-se que um subespaço U “traduz” o quociente V/W quando cada classe \bar{v}\in V/W tem um único representante em U. Aqui especificamente:
Em (a) V=\mathbb{R}^{3} e W=\mathrm{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Em (b) continua esse W de dimensão 1; pede-se provar que, se U_{1} e U_{2} são subespaços de \mathbb{R}^{3} que traduzem \mathbb{R}^{3}/W e são distintos, então \dim\!\left(U_{1}\cap U_{2}\right)>0.
Em (c) agora V=\mathbb{R}^{4} e W é um plano (ou seja \dim W=2). Pergunta-se se existem U_{1},U_{2} que traduzem \mathbb{R}^{4}/W e satisfazem U_{1}\oplus U_{2}=\mathbb{R}^{4}.
Informações relevantes fornecidas:
A definição de “traduzir o quociente”: cada classe \bar v tem exatamente um representante em U.
Dimensões implícitas: em (a)/(b) \dim\mathbb{R}^{3}=3, \dim W=1; em (c) \dim\mathbb{R}^{4}=4, \dim W=2.
Passo 2
Conceito-chave e equivalência útil (aula rápida): quando um subespaço U traduz V/W isso é equivalente a escrever V como soma direta de U com W. Vou explicar e provar isso passo a passo.
Definição de soma direta: dizemos V=U\oplus W quando
U+W=V (ou seja, toda v\in V pode ser escrita como v=u+w com u\in U,w\in W), e
U\cap W=\{0\} (ou seja, a escrita é única).
Por que isso é equivalente à definição de "traduz V/W"?
Se V=U\oplus W, então para cada classe \bar v\in V/W existe ao menos um u\in U com \bar u=\bar v porque v=u+w\Rightarrow \bar v=\bar u. A unicidade segue de U\cap W=\{0\}: se \bar u=\bar u' com u,u'\in U então u-u'\in W\cap U, logo u=u'. Assim U traduz V/W.
Reciprocamente, se U traduz V/W, então para cada v existe exatamente um u\in U com \bar v=\bar u, isto é, v-u\in W. Isso mostra U+W=V. A unicidade dos representantes dá U\cap W=\{0\}. Logo V=U\oplus W.
Resumo didático: “traduzir o quociente” ⇔ V=U\oplus W. Sempre que for pedido achar U que traduz V/W podemos procurar um complemento direto de W.
Passo 3
Estratégia: encontrar um complemento de W=\mathrm{span}\{(1,1,1)^{T}\}. Um complemento natural é o subespaço ortogonal a (1,1,1)^{T} (com o produto interno padrão), que tem dimensão 2.
Definição concreta:
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y+z=0\}.
Mostro que U\oplus W=\mathbb{R}^{3}.
U\cap W=\{0\}. Prova: seja v\in U\cap W. Então v=\lambda(1,1,1)^{T} para algum \lambda e também x+y+z=0. Assim 3\lambda=0\Rightarrow \lambda=0, logo v=0.
U+W=\mathbb{R}^{3}. Prova construtiva (útil na prova/exame): dado v=(a,b,c), escolho \lambda=\dfrac{a+b+c}{3} e defino
portanto u\in U, e claramente v=u+\lambda(1,1,1)^{T}\in U+W. Assim qualquer v é soma de algo em U com algo em W. Pela unicidade mostrada em 1), a decomposição é única, então U traduz \mathbb{R}^{3}/W.
Comentário prático para prova: outra descrição de U é \mathrm{span}\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}; isso dá uma base explícita.
Passo 4
Primeiro observar dimensões: como W tem dimensão 1 e \dim\mathbb{R}^{3}=3, qualquer complemento U de W tem dimensão
\dim U = \dim\mathbb{R}^{3}-\dim W = 3-1=2.
Logo \dim U_{1}=\dim U_{2}=2.
Usar a fórmula da dimensão para soma e interseção:
Aqui \dim U_{1}+\dim U_{2}=4. Como U_{1}+U_{2} é subespaço de \mathbb{R}^{3}, tem dimensão \le 3. Se \dim(U_{1}+U_{2})=2 então U_{1}+U_{2} teria dimensão 2, mas isso implica U_{1}=U_{2} (porque ambos estão contidos numa mesma subespaço de dimensão 2 e têm dimensão 2). Como assumimos U_{1} e U_{2} distintos, segue que \dim(U_{1}+U_{2}) não pode ser 2; logo \dim(U_{1}+U_{2})=3.
Portanto
\dim(U_{1}\cap U_{2})=4-3=1>0.
Intuição geométrica (para lembrar na prova): duas retas em um plano geram no máximo um plano; duas planos (subespaços de dimensão 2) diferentes em \mathbb{R}^{3} sempre se intersectam numa reta — aqui a interseção tem dimensão 1.
Passo 5
Primeiro observar dimensões necessárias: se \dim W=2 e \dim\mathbb{R}^{4}=4, então qualquer complemento U de W tem dimensão
\dim U = 4-2=2.
Logo procuramos dois subespaços U_{1} e U_{2} de dimensão 2 que sejam ambos complementos de W e ainda tenham interseção trivial U_{1}\cap U_{2}=\{0\} — isso garante U_{1}\oplus U_{2} de dimensão 4, ou seja igual a \mathbb{R}^{4}.
Constrói-se um exemplo concreto (fácil de checar em prova): tome a base canônica
Verificações (passo a passo e fáceis de fazer na prova):
U_{1}\cap W=\{0\}. Se \alpha e_{3}+\beta e_{4}\in W então as coordenadas nas posições 3 e 4 são zero, então \alpha=\beta=0. Logo U_{1} é complemento de W, i.e. U_{1}\oplus W=\mathbb{R}^{4}.
U_{2}\cap W=\{0\}. Se \gamma(e_{1}+e_{3})+\delta(e_{2}+e_{4})\in W então as coordenadas 3 e 4 são \gamma e \delta, que devem ser zero; logo \gamma=\delta=0. Assim U_{2} também é complemento de W.
U_{1}\cap U_{2}=\{0\}. Se \alpha e_{3}+\beta e_{4}=\gamma(e_{1}+e_{3})+\delta(e_{2}+e_{4}), olhando as coordenadas 1 e 2 obtemos \gamma=\delta=0, então \alpha=\beta=0. Logo a interseção é trivial.
Como \dim U_{1}=\dim U_{2}=2 e U_{1}\cap U_{2}=\{0\}, tem-se
\dim(U_{1}+U_{2})=\dim U_{1}+\dim U_{2}=4,
portanto U_{1}\oplus U_{2}=\mathbb{R}^{4}. Conclusão: é possível, e o exemplo dado prova a afirmação.
Observação prática: há muitas escolhas possíveis; a ideia é tomar W como as duas primeiras coordenadas e construir dois planos de dimensão 2 que não tenham interseção além do zero e que não contenham vetores em W.
Resposta
(a) U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y+z=0\}=\mathrm{span}\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}.\n
(b) \dim\!\left(U_{1}\cap U_{2}\right)=1>0.\n
(c) Sim. Exemplo: W=\mathrm{span}\{e_{1},e_{2}\}, U_{1}=\mathrm{span}\{e_{3},e_{4}\}, U_{2}=\mathrm{span}\{e_{1}+e_{3},\,e_{2}+e_{4}\}; então U_{1} e U_{2} traduzem \mathbb{R}^{4}/W e U_{1}\oplus U_{2}=\mathbb{R}^{4}.