Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, em que
tem distibuição binomial com parâmetros
e
e,
tem distibuição Poisson com parâmetro
. Calcule:
Obs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma expressão envolvendo as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. Aqui, $ X $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 10 $ e $ p = \frac{1}{10} $, e $ Y $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda = 1
\mathbb{E}
V $) dessas distribuições, além de usar propriedades de variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a expectativa de $ X $ e a variância de $ X $. Para uma distribuição binomial:
Passo 3
Agora, vamos para a variável $ Y $, que tem distribuição de Poisson. Para Poisson:
Passo 4
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a expectativa do produto delas é o produto das expectativas:
Passo 5
Vamos calcular agora a variância de $ 2Y + 3 $. Lembrando que:
Então,
Passo 6
Também precisamos da variância de $ X + Y $. Como $ X $ e $ Y $ são independentes:
Passo 7
Agora, vamos montar a expressão que queremos calcular:
Primeiro, calculamos cada parte:
Multiplicando pela variância de $ 2Y + 3 $:
Somando tudo no numerador:
Resposta
Dividindo pelo denominador:
Portanto, o valor final é aproximadamente 4,53.