Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, em que X tem distibuição binomial com parâmetros n=10 e p=110 e, Y tem distibuição Poisson com parâmetro lambda=1. Calcule:
E(3 X+2)+E(9 X Y10) V(2 Y+3)V(X+Y)
Obs: V=V a r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular uma expressão envolvendo as variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. Aqui, $ X $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 10 $ e $ p = \frac{1}{10} $, e $ Y $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda = 1 X \mathbb{E} Y â V $) dessas distribuições, além de usar propriedades de variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a expectativa de $ X $ e a variância de $ X $. Para uma distribuição binomial:
X
X

Passo 3

Agora, vamos para a variável $ Y $, que tem distribuição de Poisson. Para Poisson:
Y
E(Y) = lambda = 1

Passo 4

Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a expectativa do produto delas é o produto das expectativas:
X

Passo 5

Vamos calcular agora a variância de $ 2Y + 3 $. Lembrando que:
2Y + 3
Então,
V(aY + b) = a^2 cdot V(Y)

Passo 6

Também precisamos da variância de $ X + Y $. Como $ X $ e $ Y $ são independentes:
X + Y

Passo 7

Agora, vamos montar a expressão que queremos calcular:
E(3X + 2) + E(9XY10) cdot V(2Y + 3)V(X + Y)
Primeiro, calculamos cada parte:
E(3X + 2) = 3 cdot E(X) + 2 = 3 cdot 1 + 2 = 5
E(9XY10) = 910 cdot E(XY) = 910 cdot 1 = 0,9
Multiplicando pela variância de $ 2Y + 3 $:
2Y + 3
Somando tudo no numerador:
0,9 cdot 4 = 3,6

Resposta

Dividindo pelo denominador:
8,61,9 approx 4,53
Portanto, o valor final é aproximadamente 4,53.

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