Exercício 6.17. A altura dos homens adultos em uma certa população segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Utilize a tabela da distribuição normal e calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: estamos falando sobre a altura dos homens adultos que segue uma distribuição normal, ou seja, tem um formato de sino onde a maioria está perto da média. A média (µ) é 170 cm e o desvio padrão (σ) é 6 cm. O que precisamos fazer é descobrir a probabilidade de um homem escolhido ao acaso ter mais de 190 cm de altura, ou seja, calcular $ P(X > 190) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa distribuição normal. É uma maneira de descrever como os dados estão distribuídos, com a maioria dos valores próximos à média e poucos valores nas extremidades. Para resolver isso, vamos usar a tabela da distribuição normal, que nos ajuda a encontrar probabilidades associadas a diferentes valores.
Passo 3
Agora, precisamos padronizar o valor que queremos achar a probabilidade, que é 190 cm. Isso significa converter 190 cm em um valor z, que representa quantos desvios padrão esse valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos avaliando (190 cm)
- $ \mu $ é a média (170 cm)
- $ \sigma $ é o desvio padrão (6 cm)
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula:
Então, o valor z é aproximadamente 3,33. Isso significa que 190 cm está 3,33 desvios padrão acima da média.
Passo 5
Com o valor z em mãos, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá $ P(Z < z) $, que é a probabilidade de um valor ser menor que z. Mas a gente quer $ P(X > 190) $, que é o mesmo que $ P(Z > 3,33) $.
Passo 6
A probabilidade de $ Z > 3,33 $ é igual a 1 menos a probabilidade de $ Z < 3,33 $. Olhando na tabela, $ P(Z < 3,33) $ é aproximadamente 0,9996.
Passo 7
Então:
Resposta
A probabilidade de um homem adulto escolhido ao acaso ter mais de 190 cm de altura é aproximadamente 0,04%.