Sejam vec{u}=vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}, \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} e \vec{w}=2 \vec{i}+2 \vec{j}-4 \vec{k}, determine:
|\vec{u}+\vec{v}|

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que se pede e o que temos):
\vec{u}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}
\vec{v}=\vec{i}+\vec{j}
\vec{w}=2\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}
O que nos pedem: calcular o módulo de \vec{u}+\vec{v}, isto é, \lvert \vec{u}+\vec{v}\rvert.

Passo 2

Somar os vetores componente a componente. Escrevo cada vetor na forma (x,y,z) para ficar claro:
\vec{u}=(1,-3,2)
\vec{v}=(1,1,0)
Somando componente a componente:
\vec{u}+\vec{v}=(1+1,\;-3+1,\;2+0)=(2,-2,2).

Passo 3

Lembrete da fórmula do módulo de um vetor em \mathbb{R}^3: se \vec{a}=(a_x,a_y,a_z), então
\lvert \vec{a}\rvert=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.
Aqui a_x,a_y,a_z são as componentes do vetor nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}. Geometricamente, essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado em 3 dimensões: soma dos quadrados das projeções.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao vetor que obtivemos \vec{u}+\vec{v}=(2,-2,2):
\lvert \vec{u}+\vec{v}\rvert=\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2}.
Calculo cada termo:
2^2=4,\quad (-2)^2=4,\quad 2^2=4.
Somando:
2^2+(-2)^2+2^2=4+4+4=12,
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\lvert \vec{u}+\vec{v}\rvert=\sqrt{12}.

Passo 5

Simplificação da raiz: fatoro 12 como 4\cdot 3. Como \sqrt{4}=2, temos
\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\,\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
Dica rápida: sempre procure fatores quadrados perfeitos (1,4,9,16,…) para simplificar raízes.

Resposta

2\sqrt{3}

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