Verifique quais dos polinômios a seguir pertencem ao núcleo \operatorname{ker}(T).
(i) p(x)=x-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos polinômios fornecidos pertencem ao núcleo \ker(T). Foi dado apenas um polinômio:
p(x)=x-1.
Nenhuma definição, fórmula ou propriedade do operador T foi fornecida no enunciado que você me enviou.

Passo 2

O que significa pertencer a \ker(T)? Vou explicar passo a passo, bem devagarinho, pra ficar claro.
\ker(T)=\{q \mid T(q)=0\},
onde 0 é o elemento nulo do espaço de chegada (no caso de polinômios, o polinômio nulo). Logo, para decidir se p(x)=x-1 está em \ker(T) precisamos calcular T(p) e verificar se o resultado é o polinômio nulo 0.
Como regra prática para a prova: sempre que alguém te pedir para verificar se um vetor (ou polinômio) está no núcleo de um operador linear, faça exatamente isto:
  1. Escreva o polinômio: aqui \;p(x)=x-1.
  2. Aplique a definição do operador T ao polinômio: calcule T(p).
  3. Compare o resultado com o polinômio nulo 0. Se T(p)=0, então p\in\ker(T); caso contrário, p\notin\ker(T).

Passo 3

Sem a fórmula de T não dá para calcular T(p). Para ilustrar por que a definição de T é essencial, veja alguns exemplos concretos (cada um é um T diferente):
  • Se T for o operador derivada D, então
T(p)=D(p)=p'(x)=1,
que não é o polinômio nulo; portanto, neste caso p\notin\ker(T).
  • Se T for a avaliação em x=1, isto é T(q)=q(1) (valor numérico), então
T(p)=p(1)=1-1=0,
logo p\in\ker(T) neste caso.
  • Se T for o operador multiplicação por (x-1), isto é T(q)=(x-1)q(x), então
T(p)=(x-1)p(x)=(x-1)^2,
que não é o polinômio nulo; então p\notin\ker(T) aqui.
Esses exemplos mostram que a resposta depende totalmente da definição de T.

Passo 4

Conclusão: com os dados que você me passou não há como afirmar se \;p(x)=x-1\; pertence a \ker(T), porque falta a definição do operador T. Para resolver a questão na prova você deve aplicar o procedimento do Passo 2 usando a fórmula de T: calcular T(p) e ver se é o polinômio nulo.

Resposta

Não é possível determinar se \,p(x)=x-1\, pertence a \ker(T) porque o operador \,T\, não foi especificado.

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