Sejam vec{u}=vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}, \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} e \vec{w}=2 \vec{i}+2 \vec{j}-4 \vec{k}, determine:
|-2 \vec{u}|+2|\vec{v}|

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}+\vec{j} e \vec{w}=2\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}, e pede para determinar o valor de |-2\vec{u}|+2|\vec{v}|.
Informações relevantes: \vec{u} e \vec{v} estão explicitadas (as componentes aparecem no enunciado). O vetor \vec{w} foi fornecido, mas não será necessário para esse cálculo.

Passo 2

Conceito importante (aula curta e prática): a norma (módulo) de um vetor no espaço euclidiano é a “distância” do vetor até a origem. Se um vetor tem componentes (a_1,a_2,a_3), sua norma é
|\,(a_1,a_2,a_3)\,|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Outra propriedade útil: para um escalar c e vetor \vec{x},
|c\vec{x}|=|c|\,|\vec{x}|.
Justificativa curta e intuitiva: multiplicar o vetor por c estica (ou inverte e estica, se c negativo) o vetor por um fator |c|; portanto sua norma é multiplicada por |c|.

Passo 3

Vamos escrever as componentes dos vetores que precisamos:
\vec{u}=(1,-3,2) (peguei isso do enunciado: \vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}) e \vec{v}=(1,1,0) (peguei isso do enunciado: \vec{i}+\vec{j}, em 3D o componente em \vec{k} é 0).

Passo 4

Calcular |\vec{u}| aplicando a fórmula da norma:
|\vec{u}|=\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.

Passo 5

Calcular |\vec{v}|:
|\vec{v}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.

Passo 6

Aplicar a propriedade do passo 2 para |-2\vec{u}|:
|-2\vec{u}|=|-2|\,|\vec{u}|=2\,\sqrt{14}.
Observação: o sinal negativo não afeta a norma porque usamos o valor absoluto de -2.

Passo 7

Calcular 2|\vec{v}|:
2|\vec{v}|=2\,\sqrt{2}.

Passo 8

Somar as duas parcelas:
|-2\vec{u}|+2|\vec{v}|=2\sqrt{14}+2\sqrt{2}=2\bigl(\sqrt{14}+\sqrt{2}\bigr).
Se quiser uma aproximação numérica rápida (apenas para intuir o tamanho): \sqrt{14}\approx3,7417 e \sqrt{2}\approx1,4142, então o resultado aproximado é 2(3,7417+1,4142)\approx10,3117.

Resposta

2\bigl(\sqrt{14}+\sqrt{2}\bigr)

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