Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá três vetores escritos em função da base canônica \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},\qquad \vec{f}_{2}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3},\qquad \vec{f}_{3}=-\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{3}.
O que o problema pergunta: determinar se o conjunto \left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right) é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas, na base canônica, são \vec{f}_{1}=(1,-1,0),\qquad \vec{f}_{2}=(2,-1,2),\qquad \vec{f}_{3}=(-1,0,2).

Passo 2

Definição e critério que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Definição: um conjunto de vetores \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} em \mathbb{R}^3 é linearmente independente se a única solução do sistema \alpha_{1}\vec{v}_{1}+\alpha_{2}\vec{v}_{2}+\alpha_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Se existir alguma solução com coeficientes não todos zero, o conjunto é linearmente dependente.
  • Método escolhido: para vetores em \mathbb{R}^3 é muito prático montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Teorema (essencial): se a matriz A formada pelas colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 tem \det(A)\neq0, então as colunas são linearmente independentes; se \det(A)=0, são dependentes.
  • Vou usar a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3: \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz.]

Passo 3

Construir a matriz A cujas colunas são \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}. Usando as coordenadas do Passo 1:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Aqui a_{11}=1,\\ a_{12}=2,\\ a_{13}=-1,\\ a_{21}=-1,\\ a_{22}=-1,\\ a_{23}=0,\\ a_{31}=0,\\ a_{32}=2,\\ a_{33}=2.]

Passo 4

Calcular o determinante de A passo a passo, aplicando a fórmula do Passo 2.
Calcule cada termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) =1\big((-1)\cdot2 - 0\cdot2\big)=1(-2-0)=-2.
-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) =-2\big((-1)\cdot2 - 0\cdot0\big)=-2(-2-0)=4.
a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) =(-1)\big((-1)\cdot2 - (-1)\cdot0\big)=(-1)(-2-0)=2.
Somando os três termos:
\det(A) = -2 + 4 + 2 = 4.

Passo 5

Interpretação do resultado.
  • Obtivemos \det(A)=4, que é diferente de zero.
  • Pelo critério do determinante para matrizes 3\times3, isso significa que as colunas de A — que são \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} — são linearmente independentes.
  • Em palavras de amigo: não existe combinação linear não-trivial que zere esses vetores; ou seja, nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Boa notícia — conjunto LI!

Resposta

LI

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