O que o problema pergunta: determinar se o conjunto \left(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\right) é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As coordenadas, na base canônica, são\vec{f}_{1}=(1,-1,0),\qquad \vec{f}_{2}=(2,-1,2),\qquad \vec{f}_{3}=(-1,0,2).
Passo 2
Definição e critério que vamos usar (aula rápida e prática).
Definição: um conjunto de vetores \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} em \mathbb{R}^3 é linearmente independente se a única solução do sistema\alpha_{1}\vec{v}_{1}+\alpha_{2}\vec{v}_{2}+\alpha_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Se existir alguma solução com coeficientes não todos zero, o conjunto é linearmente dependente.
Método escolhido: para vetores em \mathbb{R}^3 é muito prático montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Teorema (essencial): se a matriz A formada pelas colunas \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 tem \det(A)\neq0, então as colunas são linearmente independentes; se \det(A)=0, são dependentes.
Vou usar a fórmula do determinante de uma matriz 3\times3:\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j da matriz.]
Passo 3
Construir a matriz A cujas colunas são \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}. Usando as coordenadas do Passo 1:
Pelo critério do determinante para matrizes 3\times3, isso significa que as colunas de A — que são \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} — são linearmente independentes.
Em palavras de amigo: não existe combinação linear não-trivial que zere esses vetores; ou seja, nenhum deles é combinação linear dos outros dois. Boa notícia — conjunto LI!