Sejam
\vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
\lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t)-\vec{g}(t)]

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções vetoriais
\vec{f}(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k},
\vec{g}(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k}, \quad t\geq0,
e pede o limite
\lim_{t\to1}\bigl[\vec{f}(t)-\vec{g}(t)\bigr].
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função vetorial, que se reduz ao cálculo de limite de cada componente. Como cada componente é um polinômio em t, sabemos que são funções contínuas e, portanto, o limite é dado pela substituição direta t=1.

Passo 2

Subtraímos componente a componente:
\vec{f}(t)-\vec{g}(t) =(t-2t)\,\vec{i}+\bigl(2t^{2}-1\bigr)\,\vec{j}+\bigl(3t^{3}-(-3t^{2})\bigr)\,\vec{k}.
Simplificando,
\vec{f}(t)-\vec{g}(t) =-t\,\vec{i}+(2t^{2}-1)\,\vec{j}+(3t^{3}+3t^{2})\,\vec{k}.

Passo 3

Como cada parte é contínua, fazemos t\to1:
- Componente \vec{i}: -t\to -1.
- Componente \vec{j}: 2t^{2}-1\to2\cdot1^{2}-1=1.
- Componente \vec{k}: 3t^{3}+3t^{2}\to3\cdot1+3\cdot1=6.
Logo
\lim_{t\to1}\bigl[\vec{f}(t)-\vec{g}(t)\bigr] =-1\,\vec{i}+1\,\vec{j}+6\,\vec{k}.

Resposta

-\vec{i}+\vec{j}+6\vec{k}

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