Sejam
\vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
\lim _{t \rightarrow 1}\left[3 \vec{f}(t)-\frac{1}{2} \vec{g}(t)\right]

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais definidas por \vec{f}(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k} e \vec{g}(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k}, com t\ge0, e pede \lim_{t\to1}\bigl[3\vec{f}(t)-\tfrac12\vec{g}(t)\bigr]. Como ambas são combinações de polinômios, são contínuas, logo basta substituir t=1 após manipular algebricamente.

Passo 2

Vamos primeiro escalar cada vetor: 3\vec{f}(t)=3\bigl(t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}\bigr) =3t\,\vec{i}+6t^{2}\,\vec{j}+9t^{3}\,\vec{k}. \tfrac12\vec{g}(t)=\tfrac12\bigl(2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k}\bigr) =t\,\vec{i}+\tfrac12\,\vec{j}-\tfrac32\,t^{2}\,\vec{k}.

Passo 3

Agora formamos a combinação e simplificamos componente a componente:
3\vec{f}(t)-\tfrac12\vec{g}(t) =(3t - t)\,\vec{i}+\bigl(6t^{2}-\tfrac12\bigr)\,\vec{j} +\bigl(9t^{3}+ \tfrac32\,t^{2}\bigr)\,\vec{k}.
Isso é
2t\,\vec{i}+\bigl(6t^{2}-\tfrac12\bigr)\,\vec{j}+\bigl(9t^{3}+\tfrac32t^{2}\bigr)\,\vec{k}.

Passo 4

Aplicando o limite t\to1 por substituição, temos: 2\cdot1=2, 6\cdot1^{2}-\tfrac12=6-\tfrac12=\tfrac{11}{2}, 9\cdot1^{3}+\tfrac32\cdot1^{2}=9+\tfrac32=\tfrac{21}{2}.

Resposta

\lim_{t\to1}\bigl[3\vec{f}(t)-\tfrac12\vec{g}(t)\bigr] =2\,\vec{i}+\tfrac{11}{2}\,\vec{j}+\tfrac{21}{2}\,\vec{k}.

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