Sejam \vec{a}=(2,-1,3) e \vec{b}=(4,-1,2). Encontre dois vetores \vec{u} e \vec{v} tais que as três condições abaixo sejam satisfeitas simultaneamente.
  • \vec{a}=\vec{u}+\vec{v},
  • \vec{u} e \vec{b} são colineares,
  • \vec{v} e \vec{b} são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(2,-1,3) e \vec{b}=(4,-1,2) e pede que encontremos dois vetores \vec{u} e \vec{v} que satisfaçam simultaneamente:
\vec{a}=\vec{u}+\vec{v},
\vec{u}\\ \text{e}\\ \vec{b}\\ \text{são colineares},ã
\vec{v}\\ \text{e}\\ \vec{b}\\ \text{são ortogonais}.ã
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \vec{a}=(2,-1,3).
  • \vec{b}=(4,-1,2).
  • Queremos \vec{u} e \vec{v} que somados dêem \vec{a}, com \vec{u} paralelo a \vec{b} e \vec{v} perpendicular a \vec{b}.

Passo 2

Vamos traduzir as condições em equações que possamos resolver passo a passo (sem pular etapas).
  • “Colineares” significa que um vetor é múltiplo escalar do outro. Então podemos escrever
\vec{u}=t\,\vec{b},
onde t é um escalar real desconhecido que vamos determinar.
  • “Ortogonais” significa que o produto escalar é zero. O produto escalar (ou dot product) de dois vetores \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) é definido por
\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Portanto, a condição " \vec{v} e \vec{b} são ortogonais" é
\vec{v}\cdot\vec{b}=0.
  • A relação \vec{a}=\vec{u}+\vec{v} permite isolar \vec{v}:
\vec{v}=\vec{a}-\vec{u}=\vec{a}-t\,\vec{b}.
Agora basta impor a ortogonalidade de \vec{v} com \vec{b} para encontrar t.

Passo 3

Impondo \vec{v}\cdot\vec{b}=0 com \vec{v}=\vec{a}-t\vec{b}, temos
(\vec{a}-t\vec{b})\cdot\vec{b}=0.
Usando linearidade do produto escalar isso dá
\vec{a}\cdot\vec{b}-t\,(\vec{b}\cdot\vec{b})=0.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{b} e \vec{b}\cdot\vec{b} são números que podemos calcular explicitamente com a fórmula do produto escalar.

Passo 4

Calculemos \vec{a}\cdot\vec{b} e \vec{b}\cdot\vec{b} com os componentes dados.
\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot4+(-1)\cdot(-1)+3\cdot2=8+1+6=15.
\vec{b}\cdot\vec{b}=4^2+(-1)^2+2^2=16+1+4=21.
Substituindo em \vec{a}\cdot\vec{b}-t(\vec{b}\cdot\vec{b})=0 obtemos
15 - t\cdot 21 = 0.
Resolvendo para t:
t=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}.
(Expliquei cada passo da aritmética para você poder refazer na prova sem medo.)

Passo 5

Agora que temos t=\frac{5}{7}, encontramos \vec{u}=t\vec{b}. Calculando componente a componente:
\vec{u}=\frac{5}{7}\,(4,-1,2)=\left(\frac{5}{7}\cdot4,\; \frac{5}{7}\cdot(-1),\; \frac{5}{7}\cdot2\right)=\left(\frac{20}{7},-\frac{5}{7},\frac{10}{7}\right).
Mostrei passo a passo a multiplicação escalar para você copiar o procedimento.

Passo 6

Com \vec{u} pronto, obtenha \vec{v}=\vec{a}-\vec{u}. Calculando componente a componente (transformando para denominador comum 7 facilita):
\vec{a}=(2,-1,3)=\left(\frac{14}{7},-\frac{7}{7},\frac{21}{7}\right).
Então
\vec{v}=\left(\frac{14}{7},-\frac{7}{7},\frac{21}{7}\right)-\left(\frac{20}{7},-\frac{5}{7},\frac{10}{7}\right)=\left(\frac{14-20}{7},\frac{-7+5}{7},\frac{21-10}{7}\right).
Fazendo as subtrações:
\vec{v}=\left(-\frac{6}{7},-\frac{2}{7},\frac{11}{7}\right).

Passo 7

Verificações rápidas para garantir que tudo bate (faça isso na prova também, é uma ótima defesa contra erro):
  • Soma \vec{u}+\vec{v}:
\left(\frac{20}{7},-\frac{5}{7},\frac{10}{7}\right)+\left(-\frac{6}{7},-\frac{2}{7},\frac{11}{7}\right)=\left(\frac{14}{7},-\frac{7}{7},\frac{21}{7}\right)=(2,-1,3)=\vec{a}.
  • Ortogonalidade \vec{v}\cdot\vec{b}:
\vec{v}\cdot\vec{b}=-\frac{6}{7}\cdot4+(-\frac{2}{7})\cdot(-1)+\frac{11}{7}\cdot2=-\frac{24}{7}+\frac{2}{7}+\frac{22}{7}=0.
  • Colinearidade de \vec{u} com \vec{b} é explícita porque \vec{u}=\frac{5}{7}\vec{b}.
    Tudo confere. Ótimo trabalho — já estava quase tudo pronto!

Resposta

\vec{u}=\left(\dfrac{20}{7},-\dfrac{5}{7},\dfrac{10}{7}\right)
\vec{v}=\left(-\dfrac{6}{7},-\dfrac{2}{7},\dfrac{11}{7}\right)

Exercícios relacionados