Sejam
e
. Encontre dois vetores
e
tais que as três condições abaixo sejam satisfeitas simultaneamente.
-
,
-
e
são colineares,
-
e
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede que encontremos dois vetores
e
que satisfaçam simultaneamente:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - Queremos
e que somados dêem , com paralelo a e perpendicular a .
Passo 2
Vamos traduzir as condições em equações que possamos resolver passo a passo (sem pular etapas).
- “Colineares” significa que um vetor é múltiplo escalar do outro. Então podemos escrever
onde
é um escalar real desconhecido que vamos determinar.
- “Ortogonais” significa que o produto escalar é zero. O produto escalar (ou dot product) de dois vetores
e é definido por
Portanto, a condição "
e
são ortogonais" é
- A relação
permite isolar :
Agora basta impor a ortogonalidade de
com
para encontrar
.
Passo 3
Impondo
com
, temos
Usando linearidade do produto escalar isso dá
Aqui
e
são números que podemos calcular explicitamente com a fórmula do produto escalar.
Passo 4
Calculemos
e
com os componentes dados.
Substituindo em
obtemos
Resolvendo para
:
(Expliquei cada passo da aritmética para você poder refazer na prova sem medo.)
Passo 5
Agora que temos
, encontramos
. Calculando componente a componente:
Mostrei passo a passo a multiplicação escalar para você copiar o procedimento.
Passo 6
Com
pronto, obtenha
. Calculando componente a componente (transformando para denominador comum
facilita):
Então
Fazendo as subtrações:
Passo 7
Verificações rápidas para garantir que tudo bate (faça isso na prova também, é uma ótima defesa contra erro):
- Soma
:
- Ortogonalidade
:
- Colinearidade de
com é explícita porque .
Tudo confere. Ótimo trabalho — já estava quase tudo pronto!