Calcule as coordenadas dos vetores operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e \operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a}) nas seguintes situações:
\vec{a}=(1,2,-2), \vec{b}=(2,0,-3).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as coordenadas dos vetores \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) dados
\vec{a}=(1,2,-2),\qquad \vec{b}=(2,0,-3).
Informações relevantes fornecidas:
\vec{a} e \vec{b} estão em coordenadas cartesianas 3D e são os únicos dados necessários para calcular as projeções.

Passo 2

Fórmula que vou usar (explicando o que cada coisa significa):
\operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Aqui:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}. Calcula-se multiplicando componentes correspondentes e somando: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) então \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2 é o quadrado da norma de \vec{v} (soma dos quadrados das componentes).
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um escalar que diz quanto de \vec{v} está na direção de \vec{u}. Multiplicando esse escalar por \vec{v} obtemos o vetor projeção (um vetor colinear com \vec{v}).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}. Multiplico componentes correspondentes e somo:
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot0+(-2)\cdot(-3)=2+0+6=8.

Passo 4

Calcular \vec{a}\cdot\vec{a} (ou seja \|\vec{a}\|^2):
\vec{a}\cdot\vec{a}=1^2+2^2+(-2)^2=1+4+4=9.

Passo 5

Calcular \vec{b}\cdot\vec{b} (ou seja \|\vec{b}\|^2):
\vec{b}\cdot\vec{b}=2^2+0^2+(-3)^2=4+0+9=13.

Passo 6

Agora calculo \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) usando a fórmula:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\,\vec{a}.
Substituindo os valores que já encontrei ( \vec{b}\cdot\vec{a}=8, \vec{a}\cdot\vec{a}=9):
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{8}{9}\vec{a}=\frac{8}{9}(1,2,-2).
Multiplicando componente a componente:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\left(\frac{8}{9},\\ \frac{16}{9},\\\ -\frac{16}{9}\right).

Passo 7

Agora calculo \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}):
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}.
Substituindo ( \vec{a}\cdot\vec{b}=8, \vec{b}\cdot\vec{b}=13):
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\frac{8}{13}\vec{b}=\frac{8}{13}(2,0,-3).
Multiplicando componente a componente:
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\left(\frac{16}{13},\\\ 0,\\\ -\frac{24}{13}\right).

Passo 8

Checagem rápida (didática e para dar confiança): a sobra \vec{b}-\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) deve ser orthogonal a \vec{a}. Vou verificar o produto escalar:
\vec{b}-\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\left(2-\frac{8}{9},\\\ 0-\frac{16}{9},\\\ -3+\frac{16}{9}\right)=\left(\frac{10}{9},-\frac{16}{9},-\frac{11}{9}\right).
Produto escalar com \vec{a}:
\left(\frac{10}{9}\right)\cdot1+\left(-\frac{16}{9}\right)\cdot2+\left(-\frac{11}{9}\right)\cdot(-2)=\frac{10-32+22}{9}=0,
confirmando que a projeção está correta (a diferença é orthogonal a \vec{a}). Bom trabalho — já está tudo certo!

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=\left(\dfrac{8}{9},\dfrac{16}{9},-\dfrac{16}{9}\right)
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=\left(\dfrac{16}{13},0,-\dfrac{24}{13}\right)

Exercícios relacionados