Sejam A(1,2,3), B(4,8,-3) e C=(6,3,2).
(a) Calcule o comprimento da altura do triângulo A B C passando pelo ponto C.
(b) Calcule a área de A B C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,2,3), B(4,8,-3) e C(6,3,2) e pede duas coisas:
(a) o comprimento da altura do triângulo ABC que passa por C (ou seja, a distância do ponto C à reta que contém AB);
(b) a área do triângulo ABC.
Informações relevantes fornecidas:
A(1,2,3),\quad B(4,8,-3),\quad C(6,3,2).

Passo 2

Primeiro vamos trabalhar com vetores posição relativos a A. Defina os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} como:
\overrightarrow{AB} = B-A,\qquad \overrightarrow{AC} = C-A.
Calcule componente a componente:
\overrightarrow{AB} = (4-1,\;8-2,\;-3-3) = (3,6,-6),
\overrightarrow{AC} = (6-1,\;3-2,\;2-3) = (5,1,-1).

Passo 3

Vou lembrar um conceito útil: o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} em 3D é um vetor ortogonal a ambos e cujo módulo \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. A área do triângulo será metade disso. Além disso, a distância do ponto C à reta AB (a altura pedida) pode ser obtida como a razão entre essa área do paralelogramo e o comprimento da base \|\overrightarrow{AB}\|:
\text{altura a partir de }C = \frac{\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|}{\|\overrightarrow{AB}\|}.
Agora calcule o produto vetorial com a regra do determinante:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 6 & -6 \\\\ 5 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Calcule componente a componente:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \Big(6\cdot(-1)-(-6)\cdot1,\; -\big(3\cdot(-1)-(-6)\cdot5\big),\;3\cdot1-6\cdot5\Big).
Agora avalie cada termo:
6\cdot(-1)-(-6)\cdot1 = -6+6 = 0,
3\cdot(-1)-(-6)\cdot5 = -3+30 = 27 \quad\text{e com o sinal menos fica } -27,
3\cdot1-6\cdot5 = 3-30 = -27.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0,-27,-27).

Passo 4

Calcule o módulo do produto vetorial (a área do paralelogramo):
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{0^{2}+(-27)^{2}+(-27)^{2}} = \sqrt{729+729} = \sqrt{1458}.
Fatore \,1458=729\cdot2 e 729=27^{2}, então
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = 27\sqrt{2}.

Passo 5

Calcule o comprimento de \overrightarrow{AB}, que será a base quando usamos a fórmula da distância ponto‑reta:
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^{2}+6^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{9+36+36} = \sqrt{81} = 9.

Passo 6

Agora a altura (distância de C à reta AB) é
\text{altura} = \frac{\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|}{\|\overrightarrow{AB}\|} = \frac{27\sqrt{2}}{9} = 3\sqrt{2}.
Breve justificativa da fórmula: a área do paralelogramo é \|\overrightarrow{AB}\|\cdot\text{altura}, portanto \text{altura}=\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|/\|\overrightarrow{AB}\|.

Passo 7

A área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo dado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Logo
\text{área}(ABC) = \tfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| = \tfrac{1}{2}\cdot 27\sqrt{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}.á

Resposta

\;3\sqrt{2}\n \;\dfrac{27\sqrt{2}}{2}

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