Sejam \vec{u}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right) e \vec{v}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) dois vetores do \mathbb{R}^{3}. Definimos o produto vetorial de \vec{u} por \vec{v}, que se indica \vec{u} \wedge \vec{v}, por
\vec{u} \wedge \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array}\right|=\left(b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}\right) \vec{i}+\left(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\right) \vec{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \vec{k}
onde \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1). (O vetor resultante do produto vetorial de \vec{u} por \vec{v} é ortogonal ao mesmo tempo por \vec{u} e por \vec{v}.)
(a) Verifique que \vec{u} \wedge \vec{v}=-\vec{v} \wedge \vec{u}.
(b) Calcule \vec{u} \wedge \vec{v}, onde \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(1,-2,1).
(c) Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1,2,-1) e que seja perpendicular às direções dos vetores \vec{u} e \vec{v} do item anterior.

Passo 1

O enunciado define o produto vetorial em \mathbb{R}^3 por
\vec{u}\wedge\vec{v} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{vmatrix}
e pede: (a) mostrar a antissimetria \vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}, (b) calcular \vec{u}\wedge\vec{v} para \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(1,-2,1) e (c) achar a reta que passa por (1,2,-1) e é perpendicular a esses vetores. Vamos usar propriedade de determinante, fórmula componente a componente e a definição de equação vetorial de reta.

Passo 2

Para (a), note que trocar as duas últimas linhas do determinante inverte o sinal. Se definirmos
\vec{u}\wedge\vec{v} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{vmatrix},
então
\vec{v}\wedge\vec{u} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\\ a_{1}&b_{1}&c_{1} \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{vmatrix} =-\bigl(\vec{u}\wedge\vec{v}\bigr).

Passo 3

Para (b), aplicamos a fórmula componente a componente:
\vec{u}\wedge\vec{v} =\bigl(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2},\;a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
Aqui a_{1}=b_{1}=c_{1}=1 e (a_{2},b_{2},c_{2})=(1,-2,1), então
b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}=1\cdot1-1\cdot(-2)=3,
a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}=1\cdot1-1\cdot1=0,
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=1\cdot(-2)-1\cdot1=-3.
Logo
\vec{u}\wedge\vec{v}=(3,0,-3).

Passo 4

Para (c), a reta procurada deve passar por P=(1,2,-1) e ter direção ortogonal a \vec{u} e \vec{v}. Um vetor ortogonal a ambos é \vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{v}=(3,0,-3). A equação vetorial da reta é
\bigl(x,y,z\bigr)=(1,2,-1)+t\,(3,0,-3),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}.
(b) \vec{u}\wedge\vec{v}=(3,0,-3).
(c) \bigl(x,y,z\bigr)=(1,2,-1)+t\,(3,0,-3),\\ t\in\mathbb{R}.

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