Sejam
. Determine
onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede para determinar
, onde
é o ângulo entre
e
.
Informações fornecidas:
.
.
O que precisa ser calculado:
entre os dois vetores.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (é uma fórmula padrão entre vetores):
Explicando cada símbolo:
é o produto escalar entre
e
— obtém‑se multiplicando componentes correspondentes e somando.
é a norma (comprimento) do vetor
— obtém‑se pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
.
Mesmo para .
Mesmo para
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Multiplicamos componente a componente e somamos:
Fazendo as contas:
Passo 4
Calcular a norma de
:
Aqui expliquei passo a passo: quadrado de cada componente, somo e tiro a raiz.
Passo 5
Calcular a norma de
:
Passo 6
Substituir na fórmula de
:
Simplificamos
:
. Então
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 7
Uma verificação numérica rápida para intuição:
, então
. Isso faz sentido: o cosseno negativo indica ângulo maior que
, ou seja, vetores apontam em direções mais opostas do que concordantes.