Sejam \vec{u}=(2,-3,1), \vec{v}=(-1,2,1). Determine \cos \theta onde \theta é o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-3,1) e \vec{v}=(-1,2,1) e pede para determinar \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Informações fornecidas:
\vec{u}=(2,-3,1).
\vec{v}=(-1,2,1).
O que precisa ser calculado:
\cos\theta entre os dois vetores.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (é uma fórmula padrão entre vetores):
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Explicando cada símbolo:
\vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v} — obtém‑se multiplicando componentes correspondentes e somando.
\|\vec{u}\| é a norma (comprimento) do vetor \vec{u} — obtém‑se pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes: \|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Mesmo para \|\vec{v}\|.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Multiplicamos componente a componente e somamos:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot(-1)+(-3)\cdot2+1\cdot1.
Fazendo as contas:
\vec{u}\cdot\vec{v}=-2-6+1=-7.

Passo 4

Calcular a norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
Aqui expliquei passo a passo: quadrado de cada componente, somo e tiro a raiz.

Passo 5

Calcular a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.

Passo 6

Substituir na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}=\frac{-7}{\sqrt{14}\,\sqrt{6}}=\frac{-7}{\sqrt{84}}.
Simplificamos \sqrt{84}: \sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}. Então
\cos\theta=\frac{-7}{2\sqrt{21}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{21}):
\cos\theta=\frac{-7\sqrt{21}}{2\cdot21}=\frac{-7\sqrt{21}}{42}=-\frac{\sqrt{21}}{6}.

Passo 7

Uma verificação numérica rápida para intuição: \sqrt{21}\approx4{,}5826, então -\dfrac{\sqrt{21}}{6}\approx-0{,}7638. Isso faz sentido: o cosseno negativo indica ângulo maior que 90^\circ, ou seja, vetores apontam em direções mais opostas do que concordantes.

Resposta

\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{21}}{6}

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