Determine se os três pontos A(3,1,0), B(2,2,2), C(0,4,6) estão em uma mesma reta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se os três pontos A(3,1,0), B(2,2,2) e C(0,4,6) estão em uma mesma reta.
Dados fornecidos (coordenadas dos pontos):
A=(3,1,0),\qquad B=(2,2,2),\qquad C=(0,4,6).
Passo 2
O que significa “estar em uma mesma reta” em \mathbb{R}^3? Uma forma prática é usar vetores de direção: se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos (isto é, um for múltiplo escalar do outro), então os três pontos são colineares (estão na mesma reta). Vou aplicar esse critério passo a passo.
Passo 3
Como calcular um vetor entre dois pontos? Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-3,\; 2-1,\; 2-0) = (-1,\;1,\;2).
Expliquei cada componente: x-componente é 2-3=-1, y-componente é 2-1=1, z-componente é 2-0=2.
Passo 5
Agora calculemos \overrightarrow{AC} usando a mesma fórmula:
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-3,\;4-1,\;6-0) = (-3,\;3,\;6).
Detalhe: 0-3=-3, 4-1=3, 6-0=6.
Passo 6
O critério de paralelismo por múltiplo escalar: dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) são paralelos se existe um escalar k tal que
v = k\,u,
ou seja, v_1 = k u_1,\; v_2 = k u_2,\; v_3 = k u_3. Em prática, verificamos as razões v_1/u_1,\; v_2/u_2,\; v_3/u_3 (quando os denominadores não são zero) e checamos se são iguais.
Passo 7
Apliquemos isso aos vetores calculados. Temos \overrightarrow{AB}=(-1,1,2) e \overrightarrow{AC}=(-3,3,6). Calcule as razões componente a componente:
Como todas as três razões são iguais a 3, concluímos que
\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}.
Passo 8
Interpretando o resultado: \overrightarrow{AC}=3\,\overrightarrow{AB} significa que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos, isto é, B e C estão na mesma linha de direção que sai de A. Outra forma de ver concretamente é reconstruir C a partir de A e \overrightarrow{AB}: