Sejam \vec{u}=(2,1,5), \vec{v}=(-6,2,-4). Determine \cos \theta onde \theta é o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,1,5) e \vec{v}=(-6,2,-4) e pede o valor de \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Informações relevantes fornecidas:
\vec{u}=(2,1,5).
\vec{v}=(-6,2,-4).
Pedir: \cos\theta.

Passo 2

Fórmula que liga produto escalar, normas e cosseno do ângulo entre vetores:
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta.
Explicando: \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (ou interno) dos vetores; \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são as normas (comprimentos) dos vetores; isolando \cos\theta obtemos
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Vou usar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Definição em coordenadas: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aplicando aos vetores dados:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\cdot(-6) + 1\cdot 2 + 5\cdot(-4).
Agora calculamos cada produto e somamos:
2\cdot(-6) = -12,\quad 1\cdot 2 = 2,\quad 5\cdot(-4) = -20.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -12 + 2 - 20 = -30.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|. Definição: para \vec{w}=(w_1,w_2,w_3),
\|\vec{w}\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}.
Para \vec{u}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}.
Para \vec{v}:
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}.
Note que \sqrt{56} pode ser simplificado: \sqrt{56} = \sqrt{4\cdot 14} = 2\sqrt{14}. Então
\|\vec{v}\| = 2\sqrt{14}.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \frac{-30}{\sqrt{30}\cdot 2\sqrt{14}}.
Simplificando o denominador:
\sqrt{30}\cdot 2\sqrt{14} = 2\sqrt{30\cdot 14} = 2\sqrt{420}.
Logo
\cos\theta = \frac{-30}{2\sqrt{420}} = \frac{-15}{\sqrt{420}}.

Passo 6

Continuar simplificando \frac{-15}{\sqrt{420}}. Primeiro fatoramos \sqrt{420}:
\sqrt{420} = \sqrt{4\cdot 105} = 2\sqrt{105}.
Substituindo:
\cos\theta = \frac{-15}{2\sqrt{105}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{105}):
\cos\theta = \frac{-15\sqrt{105}}{2\cdot 105} = \frac{-15\sqrt{105}}{210}.
Simplificando o fator \frac{15}{210}=\frac{1}{14} obtemos
\cos\theta = -\frac{\sqrt{105}}{14}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida: \sqrt{105}\approx 10,24695 então \cos\theta\approx -0,732, mas a forma exata é preferível.

Resposta

\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{105}}{14}

Exercícios relacionados