Sejam
. Determine
onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede o valor de
, onde
é o ângulo entre
e
. Informações relevantes fornecidas:
.
.
Pedir: .
Pedir:
Passo 2
Fórmula que liga produto escalar, normas e cosseno do ângulo entre vetores:
Explicando:
é o produto escalar (ou interno) dos vetores;
e
são as normas (comprimentos) dos vetores; isolando
obtemos
Vou usar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Definição em coordenadas: se
e
, então
Aplicando aos vetores dados:
Agora calculamos cada produto e somamos:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
. Definição: para
,
Para
:
Para
:
Note que
pode ser simplificado:
. Então
Passo 5
Substituir os valores na fórmula do cosseno:
Simplificando o denominador:
Logo
Passo 6
Continuar simplificando
. Primeiro fatoramos
:
Substituindo:
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por
):
Simplificando o fator
obtemos
Se quiser uma aproximação numérica rápida:
então
, mas a forma exata é preferível.