Sejam
e
vetores.
Determine o ângulo entre
e
.
Determine o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede o ângulo entre dois deles. Informações dadas:
,
e
.
Pergunta: determinar o ângulo entre e
.
Pergunta: determinar o ângulo entre
Passo 2
Conceito que vamos usar: produto escalar (dot product) e a relação com o ângulo entre vetores. Para dois vetores
e
em
, o produto escalar é
Interpretando: o produto escalar mede, em certa unidade, quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se o produto escalar for positivo, o ângulo é agudo; se for zero, são ortogonais; se negativo, o ângulo é obtuso.
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto escalar a
e
:
Calcule passo a passo:
e
. Logo
Passo 4
Agora precisamos das normas (módulos) dos vetores. A norma de
é
que vem do teorema de Pitágoras (distância até a origem).
Passo 5
Calcule as normas de
e
:
Passo 6
Fórmula que liga produto escalar e ângulo
entre vetores:
Isolando
:
Passo 7
Substituindo os valores que achamos:
Observação útil:
, então
é agudo (entre
e
).
Passo 8
Podemos escrever o ângulo de duas formas equivalentes. Forma direta:
Outra forma elegante: calcule
pelo complemento:
Assim
logo outra expressão exata é
Passo 9
Se quiser uma aproximação numérica (usando calculadora), avaliando
obtemos