Sejam vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e vec{w}=(3,2) vetores.
Determine o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede o ângulo entre dois deles. Informações dadas:
\vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e \vec{w}=(3,2).
Pergunta: determinar o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Conceito que vamos usar: produto escalar (dot product) e a relação com o ângulo entre vetores. Para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) em \mathbb{R}^2, o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Interpretando: o produto escalar mede, em certa unidade, quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se o produto escalar for positivo, o ângulo é agudo; se for zero, são ortogonais; se negativo, o ângulo é obtuso.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto escalar a \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=(-2)\cdot 0 + 3\cdot 3.
Calcule passo a passo: (-2)\cdot 0 = 0 e 3\cdot 3 = 9. Logo
\vec{u}\cdot\vec{v}=9.

Passo 4

Agora precisamos das normas (módulos) dos vetores. A norma de \vec{a}=(a_1,a_2) é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2},
que vem do teorema de Pitágoras (distância até a origem).

Passo 5

Calcule as normas de \vec{u} e \vec{v}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},
\|\vec{v}\|=\sqrt{0^2+3^2}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Fórmula que liga produto escalar e ângulo \theta entre vetores:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.

Passo 7

Substituindo os valores que achamos:
\cos\theta=\frac{9}{\sqrt{13}\cdot 3}=\frac{9}{3\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.
Observação útil: \cos\theta>0, então \theta é agudo (entre 0^\circ e 90^\circ).

Passo 8

Podemos escrever o ângulo de duas formas equivalentes. Forma direta:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right).
Outra forma elegante: calcule \sin\theta pelo complemento:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{13}}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Assim
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{2/\sqrt{13}}{3/\sqrt{13}}=\frac{2}{3},
logo outra expressão exata é
\theta=\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right).

Passo 9

Se quiser uma aproximação numérica (usando calculadora), avaliando \arctan(2/3) obtemos
\theta\approx 33,69^\circ\approx 0,5880\\ \text{rad}.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 33,69^\circ

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