Encontre os valores x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{n x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os valores de x para os quais a série \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{n x} converge; (2) calcular a soma da série para esses valores de x. A informação dada é apenas a série
\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{n x},
e vou assumir que x é um número real ( x\in\mathbb{R}). Nada mais será pedido.

Passo 2

Reconhecemos que a série é uma série geométrica com termo geral \mathrm{e}^{n x}. Uma série geométrica padrão tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é a razão comum. Para essa série, os somatórios parciais são, quando r\neq 1,
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Para obter uma fórmula fechada para S_{N} fazemos a manipulação clássica: multiplica-se por (1-r),
(1-r)S_{N}=(1-r)(1+r+\cdots+r^{N})=1-r^{N+1}.
Logo, para r\neq 1,
S_{N}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.

Passo 3

Agora precisamos do critério de convergência da série geométrica. Observamos que
\lim_{N\to\infty} S_{N}=\lim_{N\to\infty}\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0 e a soma infinita converge para
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge 1 então r^{N+1} não tende para zero (ou tende para 1 quando r=1, ou diverge em módulo quando |r|>1), portanto os somatórios parciais não têm limite finito e a série diverge. Além disso, uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é \lim_{n\to\infty} a_n = 0. No caso geométrico, isso exige \lim_{n\to\infty} r^n=0, ou seja |r|<1.

Passo 4

Voltemos ao problema: temos a_n=\mathrm{e}^{n x}. Identificamos a razão
r=\mathrm{e}^{x}.
Para x\in\mathbb{R} sabemos que \mathrm{e}^{x}>0, portanto |r|=\mathrm{e}^{x}. A condição |r|<1 torna-se
\mathrm{e}^{x}<1.
Como a função exponencial é crescente, \mathrm{e}^{x}<1 é equivalente a x<0. Portanto a série só pode convergir quando x<0. Para os casos limites e maiores: se x=0 temos r=1 e a série é \sum_{n=0}^{\infty}1, que diverge; se x>0 então r>1 e os termos crescem, logo a série diverge.

Passo 5

Para x<0 temos |r|=\mathrm{e}^{x}<1, então a série converge e sua soma é dada pela fórmula da geométrica com r=\mathrm{e}^{x}:
\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{n x}=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{x}},\qquad x<0.
Um pequeno exemplo numérico para fixar: se x=-1 então \mathrm{e}^{-1}\approx 0,3679 e a soma é \dfrac{1}{1-\mathrm{e}^{-1}}\approx\dfrac{1}{0,6321}\approx 1,5819.

Resposta

Converge para x<0.
Para x<0 a soma é \displaystyle \frac{1}{1-\mathrm{e}^{x}}.

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