Encontre os valores
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os valores de
para os quais a série
converge; (2) calcular a soma da série para esses valores de
. A informação dada é apenas a série
e vou assumir que
é um número real (
). Nada mais será pedido.
Passo 2
Reconhecemos que a série é uma série geométrica com termo geral
. Uma série geométrica padrão tem a forma
onde
é a razão comum. Para essa série, os somatórios parciais são, quando
,
Para obter uma fórmula fechada para
fazemos a manipulação clássica: multiplica-se por
,
Logo, para
,
Passo 3
Agora precisamos do critério de convergência da série geométrica. Observamos que
Se
, então
e a soma infinita converge para
Se
então
não tende para zero (ou tende para
quando
, ou diverge em módulo quando
), portanto os somatórios parciais não têm limite finito e a série diverge. Além disso, uma condição necessária para que uma série
convirja é
. No caso geométrico, isso exige
, ou seja
.
Passo 4
Voltemos ao problema: temos
. Identificamos a razão
Para
sabemos que
, portanto
. A condição
torna-se
Como a função exponencial é crescente,
é equivalente a
. Portanto a série só pode convergir quando
. Para os casos limites e maiores: se
temos
e a série é
, que diverge; se
então
e os termos crescem, logo a série diverge.
Passo 5
Para
temos
, então a série converge e sua soma é dada pela fórmula da geométrica com
:
Um pequeno exemplo numérico para fixar: se
então
e a soma é
.
Resposta
Converge para
.
Para a soma é
.
Para