Ache todos os valores reais de x de modo que o vetor ( x, 2 x+1 ) seja paralelo a ( 2 x-1, x+2 ).

Passo 1

O enunciado pede todos os x\in\mathbb{R} tais que o vetor \,(x,2x+1)\, seja paralelo ao vetor \,(2x-1,\,x+2).
O conteúdo aqui é o critério de paralelismo de vetores em \mathbb{R}^2: dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, o que implica que seu determinante seja zero ou que as razões entre componentes sejam iguais.

Passo 2

Do critério de determinante, vetores (v_1,v_2) e (w_1,w_2) são paralelos se e somente se
\det\begin{pmatrix}v_1 & v_2\\\ w_1 & w_2\end{pmatrix}=0.
Aqui v_1=x, v_2=2x+1, w_1=2x-1 e w_2=x+2.

Passo 3

Compute o determinante e iguale a zero:
\det\begin{pmatrix} x & 2x+1\\[6pt] 2x-1 & x+2 \end{pmatrix} = x\,(x+2)\;-\;(2x+1)\,(2x-1) =0.
Expandindo dá
x^2+2x \;-\;(4x^2-1) =-3x^2+2x+1=0.]

Passo 4

Resolva a equação quadrática
-3x^2+2x+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-2x-1=0.
O discriminante é \Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16, logo
x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3} =\frac{2\pm4}{6} \;\Longrightarrow\; x=1 \quad\text{ou}\quad x=-\tfrac13.

Passo 5

Verificamos rapidamente que para x=1 e x=-\tfrac13 não ocorrem divisões por zero nas razões de componentes e de fato cada vetor fica múltiplo escalar do outro.

Resposta

Os valores de x são
1 \quad\text{e}\quad -\tfrac13.

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