Sejam vec{u}=(x,-5) e vec{v}=(x+2, x). Determine os valores de x para os quais vec{u} \cdot \vec{v}=-2.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(x,-5) e \vec{v}=(x+2,x) e pede os valores de x para os quais o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} vale -2. O conteúdo necessário é a definição de produto escalar em \mathbb{R}^2 e a resolução de uma equação quadrática em x.

Passo 2

Pela definição de produto escalar em \mathbb{R}^2 temos
\vec{u}\cdot\vec{v} = x\,(x+2)+(-5)\cdot x.
Igualamos isso a -2.

Passo 3

Expandindo e reorganizando obtemos
x(x+2)-5x = -2 \quad\Longrightarrow\quad x^2+2x-5x +2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -3x +2 = 0.

Passo 4

Fatorando a quadrática:
x^2 -3x +2 = (x-1)(x-2) = 0,
logo as soluções são
x=1 \quad\text{ou}\quad x=2.

Resposta

As soluções são x=1 e x=2.

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