Sejam
e
vetores tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede calcular o produto escalar
quando o ângulo entre e é . - Dados fornecidos:
-
Passo 2
Fórmula que vamos usar e o significado das grandezas:
- A relação fundamental entre produto escalar, normas dos vetores e o cosseno do ângulo é
- Aqui:
-
é o produto escalar (um número real). -
é o comprimento (norma) do vetor . -
é o comprimento (norma) do vetor . -
é o ângulo entre os vetores, e é o cosseno desse ângulo.
-
- Essa fórmula é prática na prova porque basta conhecer os comprimentos e o cosseno do ângulo.
Passo 3
Valor do cosseno para
:
- É um valor padrão da trigonometria:
. - Se precisar lembrar rapidamente: o triângulo equilátero de lado
dividido ao meio dá um triângulo retângulo com hipotenusa , cateto adjacente e cateto oposto .
Passo 4
Substituição na fórmula e cálculo passo a passo:
- Usando
, e ,
- Simplificando:
- Observação prática: os fatores
cancelam, então basta multiplicar por . - (Opcional para intuição) Valor aproximado:
, ou seja, produto escalar positivo porque o ângulo é agudo.