Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=30^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} quando o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \theta=30^\circ.
  • Dados fornecidos:
    • |\vec{u}| = 2
    • |\vec{v}| = 3
    • \theta = 30^\circ

Passo 2

Fórmula que vamos usar e o significado das grandezas:
  • A relação fundamental entre produto escalar, normas dos vetores e o cosseno do ângulo é
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
  • Aqui:
    • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (um número real).
    • |\vec{u}| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u}.
    • |\vec{v}| é o comprimento (norma) do vetor \vec{v}.
    • \theta é o ângulo entre os vetores, e \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
  • Essa fórmula é prática na prova porque basta conhecer os comprimentos e o cosseno do ângulo.

Passo 3

Valor do cosseno para \theta=30^\circ:
  • É um valor padrão da trigonometria: \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Se precisar lembrar rapidamente: o triângulo equilátero de lado 1 dividido ao meio dá um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto adjacente \sqrt{3}/2 e cateto oposto 1/2.

Passo 4

Substituição na fórmula e cálculo passo a passo:
  • Usando |\vec{u}|=2, |\vec{v}|=3 e \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Simplificando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = \left(2\cdot3\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.
  • Observação prática: os fatores 2 cancelam, então basta multiplicar 3 por \sqrt{3}.
  • (Opcional para intuição) Valor aproximado: 3\sqrt{3}\approx 5{,}196, ou seja, produto escalar positivo porque o ângulo é agudo.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=3\sqrt{3}

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