Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=45^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados:
    • |\vec{u}| = 2
    • |\vec{v}| = 3
    • o ângulo entre os vetores é \theta = 45^\circ
  • Pedido:
    • Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} para o valor de \theta dado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a mais direta para este tipo de exercício):
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\cos\theta
Explicando cada símbolo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (um número real).
  • |\vec{u}| é o comprimento (magnitude) do vetor \vec{u}.
  • |\vec{v}| é o comprimento do vetor \vec{v}.
  • \theta é o ângulo formado entre \vec{u} e \vec{v}.
    A ideia é simples: o produto escalar combina os comprimentos dos vetores e a direção relativa entre eles através do cosseno do ângulo.

Passo 3

Calcular o cosseno de 45^\circ. Um jeito rápido de lembrar/mostrar:
em um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a 1, a hipotenusa vale \sqrt{2}, então
\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora substituímos os valores na fórmula. Primeiro multiplicamos as magnitudes:
|\vec{u}|\;|\vec{v}| = 2\cdot 3 = 6.
Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cos 45^\circ.

Passo 5

Substituindo \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Simplificando 6\cdot\frac{1}{2}=3, obtemos
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: o resultado é positivo, o que faz sentido porque 45^\circ é um ângulo agudo (vetores com ângulo agudo têm produto escalar positivo). Na prova, o passo padrão é sempre: lembrar a fórmula, calcular o cosseno do ângulo (memorizando valores como 0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ) e multiplicar.

Resposta

3\sqrt{2}

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