Sejam
e
vetores tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
-
Dados:
-
-
- o ângulo entre os vetores é
-
-
Pedido:
- Calcular o produto escalar
para o valor de dado.
- Calcular o produto escalar
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a mais direta para este tipo de exercício):
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (um número real). -
é o comprimento (magnitude) do vetor . -
é o comprimento do vetor . -
é o ângulo formado entre e .
A ideia é simples: o produto escalar combina os comprimentos dos vetores e a direção relativa entre eles através do cosseno do ângulo.
Passo 3
Calcular o cosseno de
. Um jeito rápido de lembrar/mostrar:
em um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a
, a hipotenusa vale
, então
Passo 4
Agora substituímos os valores na fórmula. Primeiro multiplicamos as magnitudes:
Portanto
Passo 5
Substituindo
:
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Interpretação rápida e dica de prova: o resultado é positivo, o que faz sentido porque
é um ângulo agudo (vetores com ângulo agudo têm produto escalar positivo). Na prova, o passo padrão é sempre: lembrar a fórmula, calcular o cosseno do ângulo (memorizando valores como
) e multiplicar.