Calcule o produto escalar entre os vetores
e
dados em cada item abaixo. Analisando apenas o sinal do produto escalar, diga se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
e
Passo 1
O enunciado dá os vetores e pede duas coisas:
- Vetores fornecidos:
e . - Perguntas a responder:
- Calcular o produto escalar entre
e . - Usando apenas o sinal do produto escalar, dizer se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
- Calcular o produto escalar entre
Passo 2
O que é o produto escalar em coordenadas (fórmula que vamos usar).
- Para dois vetores em
, e , o produto escalar é dado por
- Explicando cada símbolo:
são as componentes do vetor ; são as componentes do vetor . O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. - Geometricamente, também vale a relação
onde
e
são os módulos (normas) dos vetores e
é o ângulo entre eles. Essa relação liga o produto escalar ao cosseno do ângulo.
Passo 3
Aplicar a fórmula do produto escalar às componentes dadas.
- Identificando componentes: para
temos . Para temos . - Calculando cada produto componente-a-componente:
Passo 4
Somar os produtos das componentes para obter o produto escalar:
Portanto o produto escalar é
.
Passo 5
Interpretar o sinal do produto escalar para classificar o ângulo.
- Lembrete: pela relação
, o sinal de depende do sinal de (porque e são sempre positivos, exceto para o vetor nulo). - Se
então e o ângulo é agudo ( ). - Se
então e o ângulo é reto ( ). - Se
então e o ângulo é obtuso ( ).
- Se
- Aqui encontramos
. Logo e o ângulo entre e é agudo.
Resposta
Ângulo entre os vetores: agudo