Calcule o produto escalar entre os vetores \vec{u} e \vec{v} dados em cada item abaixo. Analisando apenas o sinal do produto escalar, diga se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.
\vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(2,1,2)

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede duas coisas:
  • Vetores fornecidos: \vec{u}=(1,2,3) e \vec{v}=(2,1,2).
  • Perguntas a responder:
    1. Calcular o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}.
    2. Usando apenas o sinal do produto escalar, dizer se o ângulo formado entre os vetores é agudo, reto ou obtuso.

Passo 2

O que é o produto escalar em coordenadas (fórmula que vamos usar).
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Explicando cada símbolo: u_1,u_2,u_3 são as componentes do vetor \vec{u}; v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor \vec{v}. O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Geometricamente, também vale a relação
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta,
onde |\vec{u}| e |\vec{v}| são os módulos (normas) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles. Essa relação liga o produto escalar ao cosseno do ângulo.

Passo 3

Aplicar a fórmula do produto escalar às componentes dadas.
  • Identificando componentes: para \vec{u}=(1,2,3) temos u_1=1,\;u_2=2,\;u_3=3. Para \vec{v}=(2,1,2) temos v_1=2,\;v_2=1,\;v_3=2.
  • Calculando cada produto componente-a-componente: u_1v_1 = 1\cdot 2 = 2,
u_2v_2 = 2\cdot 1 = 2,
u_3v_3 = 3\cdot 2 = 6.

Passo 4

Somar os produtos das componentes para obter o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2+2+6=10.
Portanto o produto escalar é \,10.

Passo 5

Interpretar o sinal do produto escalar para classificar o ângulo.
  • Lembrete: pela relação \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta, o sinal de \vec{u}\cdot\vec{v} depende do sinal de \cos\theta (porque |\vec{u}| e |\vec{v}| são sempre positivos, exceto para o vetor nulo).
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}>0 então \cos\theta>0 e o ângulo \theta é agudo ( 0^\circ<\theta<90^\circ).
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 então \cos\theta=0 e o ângulo é reto ( \theta=90^\circ).
    • Se \vec{u}\cdot\vec{v}<0 então \cos\theta<0 e o ângulo é obtuso ( 90^\circ<\theta<180^\circ).
  • Aqui encontramos \vec{u}\cdot\vec{v}=10>0. Logo \cos\theta>0 e o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é agudo.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=10
Ângulo entre os vetores: agudo

Exercícios relacionados