Sejam os vetores abaixo relacionados u=(3,k,-2)e v =(2,-5,4) determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores u = (3, k, -2) e v = (2, -5, 4). O objetivo é encontrar o valor de k que faz com que esses vetores sejam ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores, que é uma ferramenta fundamental em Álgebra Linear para determinar se dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais).
Passo 2
Vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é calculado da seguinte forma:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v usando os componentes fornecidos:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
Resolvendo para k: