Sejam os vetores abaixo relacionados u=(3,k,-2)e v =(2,-5,4) determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores u = (3, k, -2) e v = (2, -5, 4). O objetivo é encontrar o valor de k que faz com que esses vetores sejam ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores, que é uma ferramenta fundamental em Álgebra Linear para determinar se dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais).

Passo 2

Vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é calculado da seguinte forma:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v usando os componentes fornecidos:
u cdot v = (3)(2) + (k)(-5) + (-2)(4)

Passo 4

Simplificando a expressão:
u cdot v = 6 - 5k - 8
u cdot v = -5k - 2

Passo 5

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
-5k - 2 = 0
Resolvendo para k:
-5k = 2 implies k = -25

Resposta

k = -25

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