Verifique se os vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3} são coplanares. Caso não sejam, calcule o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores.
Passo 1
O enunciado dá seis vetores em \mathbb{R}^3, mas a pergunta envolve apenas os três primeiros:
Verificar se \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são coplanares.
Caso não sejam coplanares, calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores.
Passo 2
Vamos entender o que significa “coplanares” e qual teste usar (aula rápida, sem enrolação).
Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e só se eles pertencem a um mesmo plano que passa pela origem (ou, equivalentemente, se um deles é combinação linear dos outros dois).
Um teste prático e muito usado é o produto misto (ou produto triplo escalar):\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3).Esse produto pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3) =\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Propriedades importantes:
Se o produto misto for 0, então os vetores são coplanares.
Se for diferente de 0, então não são coplanares.
O volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 é o valor absoluto desse produto misto:\text{Volume} = \bigl|\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)\bigr|.
Breve lembrete sobre operações usadas:
Produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} produz um vetor perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}. Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} é a soma dos produtos componente a componente:\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.]
Passo 3
Calcular o determinante (produto misto) pela regra de Sarrus (ou expansão). Monto a matriz com as componentes: