Sejam os vetores em \mathbb{R}^{3} abaixo:
\begin{array}{lll} \mathbf{v}_{1}=(1,2,3), & \mathbf{v}_{2}=(2,-1,4), & \mathbf{v}_{3}=(0,1,1), \\\ \mathbf{v}_{4}=(3,0,-1), & \mathbf{v}_{5}=(1,1,0), & \mathbf{v}_{6}=(2,2,5) . \end{array}
Verifique se os vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3} são coplanares. Caso não sejam, calcule o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores.

Passo 1

O enunciado dá seis vetores em \mathbb{R}^3, mas a pergunta envolve apenas os três primeiros:
\mathbf{v}_{1}=(1,2,3),\qquad \mathbf{v}_{2}=(2,-1,4),\qquad \mathbf{v}_{3}=(0,1,1).
O que é pedido:
  • Verificar se \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são coplanares.
  • Caso não sejam coplanares, calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses três vetores.

Passo 2

Vamos entender o que significa “coplanares” e qual teste usar (aula rápida, sem enrolação).
  • Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e só se eles pertencem a um mesmo plano que passa pela origem (ou, equivalentemente, se um deles é combinação linear dos outros dois).
  • Um teste prático e muito usado é o produto misto (ou produto triplo escalar): \mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3).Esse produto pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores: \mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3) =\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Propriedades importantes:
    • Se o produto misto for 0, então os vetores são coplanares.
    • Se for diferente de 0, então não são coplanares.
    • O volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 é o valor absoluto desse produto misto: \text{Volume} = \bigl|\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)\bigr|.
Breve lembrete sobre operações usadas:
  • Produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} produz um vetor perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}. Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então \mathbf{a}\times\mathbf{b}= \bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
  • Produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} é a soma dos produtos componente a componente: \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.]

Passo 3

Calcular o determinante (produto misto) pela regra de Sarrus (ou expansão). Monto a matriz com as componentes:
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus, escrevendo os termos positivos e negativos:
Termos positivos:
\begin{aligned} &1\cdot(-1)\cdot1 = -1,\\[4pt] &2\cdot4\cdot0 = 0,\\[4pt] &3\cdot2\cdot1 = 6. \end{aligned}
Soma dos positivos:
-1 + 0 + 6 = 5.
Termos negativos:
\begin{aligned} &3\cdot(-1)\cdot0 = 0,\\[4pt] &1\cdot4\cdot1 = 4,\\[4pt] &2\cdot2\cdot1 = 4. \end{aligned}
Soma dos negativos:
0 + 4 + 4 = 8.
Determinante (produto misto):
\det(M)=5-8=-3.]

Passo 4

Verificação alternativa (mesma conta, só para ficar mais claro): calcular \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 e depois o produto escalar com \mathbf{v}_1.
Calculo do produto vetorial:
\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3= \bigl((-1)\cdot1-4\cdot1,\; 4\cdot0-2\cdot1,\; 2\cdot1-(-1)\cdot0\bigr) =(-5,\,-2,\,2).
Agora o produto escalar com \mathbf{v}_1:
\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3) =1\cdot(-5)+2\cdot(-2)+3\cdot2=-5-4+6=-3,
o mesmo resultado que obtivemos pelo determinante, conferindo a conta.

Passo 5

Interpretação dos resultados:
  • O produto misto é -3, que é diferente de zero. Logo, \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 NÃO são coplanares.
  • O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto: \text{Volume}=\bigl|-3\bigr|=3.
Força aí — problema resolvido passo a passo: teste de coplanaridade via determinante/produto misto e cálculo do volume como valor absoluto.

Resposta

Não são coplanares.
Volume do paralelepípedo =3.

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