Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham.
O conjunto
com
dos polinômios de grau menor ao igual 1 coma as operações usuais de polinômios.
O conjunto
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dado o conjunto
, ou seja, todos os polinômios reais de grau menor ou igual a , com a adição e a multiplicação por escalar usuais de polinômios. - A pergunta: determinar se
é um espaço vetorial (sobre ). Se não for, listar quais condições/axiomas falham.
Passo 2
Lembrete didático: o que é necessário checar para afirmar que um conjunto com duas operações é um espaço vetorial sobre
.
Um conjunto
com operação de adição
e multiplicação por escalar (por escalares em
) é espaço vetorial se, e somente se, satisfaz os seguintes axiomas (vou enumerar de forma clara; depois comprovo cada um em
):
- Fechamento da adição: para todo
, . - Comutatividade da adição: para todo
, . - Associatividade da adição: para todo
, . - Existência do vetor zero (identidade aditiva): existe
tal que para todo . - Existência de inverso aditivo: para todo
existe tal que . - Fechamento sob multiplicação por escalar: para todo
e , . - Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
para todo e . - Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
para todo e . - Compatibilidade da multiplicação de escalares:
para todo e . - Elemento unitário escalar:
para todo , onde é o elemento neutro de .
Vou provar cada uma (algumas propriedades virão “herdadas” das propriedades usuais dos números reais).
Passo 3
Notação e início das verificações: pegue dois polinômios quaisquer em
,
com
. Também tome um escalar arbitrário
.
Verificação do fechamento da adição (axioma 1):
Calcule a soma usual de polinômios:
Calcule a soma usual de polinômios:
Aqui
e
, logo
é um polinômio da forma
com coeficientes reais. Portanto
. Assim o fechamento da adição está satisfeito.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar (axioma 6):
Calcule com a multiplicação usual:
Calcule
Como
, o resultado é novamente da forma
com
. Logo
. Portanto fechamento sob escalares está satisfeito.
Passo 5
Identidade aditiva (axioma 4) e inverso aditivo (axioma 5):
- Zero vetorial: o polinômio zero é
. Observe que pois seus coeficientes são reais. Para qualquer vale
logo
é a identidade aditiva.
- Inverso aditivo: para
o inverso aditivo é . Verifique
Como
, segue que
. Assim todo elemento tem inverso aditivo em
.
Passo 6
Comutatividade e associatividade da adição (axiomas 2 e 3):
- Comutatividade: usando coeficientes,
porque a adição em
é comutativa. Então a adição em
é comutativa.
- Associatividade: para
com coeficientes ,
e
Ambos são iguais porque a adição em
é associativa. Portanto a adição em
é associativa.
Passo 7
Propriedades que envolvem escalares (axiomas 7, 8, 9 e 10):
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores (axioma 7):
Parae ,
Pelo distributivo em
,
portanto
- Distributividade da soma de escalares sobre vetor (axioma 8):
Parae ,
novamente usando propriedades da multiplicação e adição em
.
- Compatibilidade de multiplicação de escalares (axioma 9):
Parae ,
- Identidade escalar (axioma 10):
Parae ,
Todas essas igualdades seguem diretamente das propriedades aritméticas dos reais aplicadas coeficiente a coeficiente.
Passo 8
Resumo e intuição final (motivacional):
- Verificamos todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial: fechamento sob soma e multiplicação por escalar, existência de zero e inversos aditivos, e as leis distributivas/associativas/compatibilidade. Todas as verificações foram feitas explicitamente usando os coeficientes
dos polinômios . - Intuitivamente:
é um subespaço do espaço de todos os polinômios reais (ou do espaço vetorial das funções de em ), e esse subespaço é formado por polinômios de grau ≤ . Soma de duas retas é uma reta; múltiplo escalar de uma reta é uma reta — portanto o conjunto fecha-se nas operações. Isso é exatamente a razão pela qual é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial sobre
.