Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham.
O conjunto P_{1}=\{p(x)=b+a x com a, b \in \mathbb{R}\} dos polinômios de grau menor ao igual 1 coma as operações usuais de polinômios.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado o conjunto P_{1}=\{p(x)=b+a x \mid a,b\in\mathbb{R}\}, ou seja, todos os polinômios reais de grau menor ou igual a 1, com a adição e a multiplicação por escalar usuais de polinômios.
  • A pergunta: determinar se P_{1} é um espaço vetorial (sobre \mathbb{R}). Se não for, listar quais condições/axiomas falham.

Passo 2

Lembrete didático: o que é necessário checar para afirmar que um conjunto com duas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Um conjunto V com operação de adição + e multiplicação por escalar (por escalares em \mathbb{R}) é espaço vetorial se, e somente se, satisfaz os seguintes axiomas (vou enumerar de forma clara; depois comprovo cada um em P_{1}):
  1. Fechamento da adição: para todo u,v\in V, u+v\in V.
  2. Comutatividade da adição: para todo u,v\in V, u+v=v+u.
  3. Associatividade da adição: para todo u,v,w\in V, (u+v)+w=u+(v+w).
  4. Existência do vetor zero (identidade aditiva): existe 0_V\in V tal que v+0_V=v para todo v\in V.
  5. Existência de inverso aditivo: para todo v\in V existe -v\in V tal que v+(-v)=0_V.
  6. Fechamento sob multiplicação por escalar: para todo \alpha\in\mathbb{R} e v\in V, \alpha v\in V.
  7. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores: \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v para todo \alpha\in\mathbb{R} e u,v\in V.
  8. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e v\in V.
  9. Compatibilidade da multiplicação de escalares: (\alpha\beta)v=\alpha(\beta v) para todo \alpha,\beta\in\mathbb{R} e v\in V.
  10. Elemento unitário escalar: 1\cdot v=v para todo v\in V, onde 1 é o elemento neutro de \mathbb{R}.
Vou provar cada uma (algumas propriedades virão “herdadas” das propriedades usuais dos números reais).

Passo 3

Notação e início das verificações: pegue dois polinômios quaisquer em P_{1},
p_1(x)=b_1+a_1 x,\qquad p_2(x)=b_2+a_2 x,
com a_1,b_1,a_2,b_2\in\mathbb{R}. Também tome um escalar arbitrário \alpha\in\mathbb{R}.
Verificação do fechamento da adição (axioma 1):
Calcule a soma usual de polinômios:
p_1(x)+p_2(x)=(b_1+b_2)+(a_1+a_2)x.
Aqui b_1+b_2\in\mathbb{R} e a_1+a_2\in\mathbb{R}, logo p_1+p_2 é um polinômio da forma b+a x com coeficientes reais. Portanto p_1+p_2\in P_{1}. Assim o fechamento da adição está satisfeito.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar (axioma 6):
Calcule \alpha p_1(x) com a multiplicação usual:
\alpha p_1(x)=(\alpha b_1)+(\alpha a_1)x.
Como \alpha b_1,\alpha a_1\in\mathbb{R}, o resultado é novamente da forma b+ax com a,b\in\mathbb{R}. Logo \alpha p_1\in P_{1}. Portanto fechamento sob escalares está satisfeito.

Passo 5

Identidade aditiva (axioma 4) e inverso aditivo (axioma 5):
  • Zero vetorial: o polinômio zero é 0_{P}(x)=0+0x. Observe que 0_{P}\in P_{1} pois seus coeficientes são reais. Para qualquer p(x)=b+ax vale
p(x)+0_{P}(x)= (b+0)+(a+0)x = b+ax = p(x),
logo 0_{P} é a identidade aditiva.
  • Inverso aditivo: para p(x)=b+ax o inverso aditivo é -p(x)=(-b)+(-a)x. Verifique
p(x)+(-p(x))=(b+(-b))+(a+(-a))x=0+0x=0_{P}(x).
Como -b,-a\in\mathbb{R}, segue que -p\in P_{1}. Assim todo elemento tem inverso aditivo em P_{1}.

Passo 6

Comutatividade e associatividade da adição (axiomas 2 e 3):
  • Comutatividade: usando coeficientes,
p_1(x)+p_2(x)=(b_1+b_2)+(a_1+a_2)x=(b_2+b_1)+(a_2+a_1)x=p_2(x)+p_1(x),
porque a adição em \mathbb{R} é comutativa. Então a adição em P_{1} é comutativa.
  • Associatividade: para p_1,p_2,p_3 com coeficientes a_i,b_i,
(p_1+p_2)+p_3 = \big((b_1+b_2)+(a_1+a_2)x\big)+(b_3+a_3 x) = (b_1+b_2+b_3)+(a_1+a_2+a_3)x,
e
p_1+(p_2+p_3) = (b_1)+(a_1 x)+\big((b_2+b_3)+(a_2+a_3)x\big) = (b_1+b_2+b_3)+(a_1+a_2+a_3)x.
Ambos são iguais porque a adição em \mathbb{R} é associativa. Portanto a adição em P_{1} é associativa.

Passo 7

Propriedades que envolvem escalares (axiomas 7, 8, 9 e 10):
  • Distributividade do escalar sobre soma de vetores (axioma 7):
    Para \alpha\in\mathbb{R} e p_1,p_2\in P_{1},
\alpha(p_1+p_2)=\alpha\big((b_1+b_2)+(a_1+a_2)x\big)=(\alpha(b_1+b_2))+(\alpha(a_1+a_2))x.
Pelo distributivo em \mathbb{R},
\alpha(b_1+b_2)=\alpha b_1+\alpha b_2,\qquad \alpha(a_1+a_2)=\alpha a_1+\alpha a_2,
portanto
\alpha(p_1+p_2)=(\alpha b_1+\alpha b_2)+(\alpha a_1+\alpha a_2)x=(\alpha p_1)+(\alpha p_2).
  • Distributividade da soma de escalares sobre vetor (axioma 8):
    Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p\in P_{1},
(\alpha+\beta)p=(\alpha+\beta)b+(\alpha+\beta)a\,x=(\alpha b+\beta b)+(\alpha a+\beta a)x=\alpha p+\beta p,
novamente usando propriedades da multiplicação e adição em \mathbb{R}.
  • Compatibilidade de multiplicação de escalares (axioma 9):
    Para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e p=b+ax,
(\alpha\beta)p=(\alpha\beta)b+(\alpha\beta)a\,x=\alpha(\beta b)+\alpha(\beta a)\,x=\alpha(\beta p).
  • Identidade escalar (axioma 10):
    Para 1\in\mathbb{R} e p=b+ax,
1\cdot p = 1\cdot b + 1\cdot a\,x = b+ax = p.
Todas essas igualdades seguem diretamente das propriedades aritméticas dos reais aplicadas coeficiente a coeficiente.

Passo 8

Resumo e intuição final (motivacional):
  • Verificamos todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial: fechamento sob soma e multiplicação por escalar, existência de zero e inversos aditivos, e as leis distributivas/associativas/compatibilidade. Todas as verificações foram feitas explicitamente usando os coeficientes a,b\in\mathbb{R} dos polinômios b+ax.
  • Intuitivamente: P_{1} é um subespaço do espaço de todos os polinômios reais (ou do espaço vetorial das funções de \mathbb R em \mathbb R), e esse subespaço é formado por polinômios de grau ≤ 1. Soma de duas retas é uma reta; múltiplo escalar de uma reta é uma reta — portanto o conjunto fecha-se nas operações. Isso é exatamente a razão pela qual P_{1} é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto P_{1} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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