Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham.
\mathrm{O} \mathbb{R}^{2} com as operações
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right) \text { e } k(x, y)=(2 k x, 2 k y)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathbb{R}^2 com as operações
(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')
e
k(x,y)=(2kx,\,2ky)
para todo x,y,x',y'\in\mathbb{R} e todo k\in\mathbb{R}.
A pergunta é: este conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}? Se não for, listar quais condições (axiomas) de espaço vetorial falham.

Passo 2

Rápida revisão do que vou verificar (o que é necessário para ser espaço vetorial). Um conjunto V com adição e multiplicação por escalar é espaço vetorial se, além de ser um grupo abeliano pela adição, satisfizer as propriedades da multiplicação por escalar (para todos u,v\in V e k,\ell\in\mathbb{R}):
  1. (k+\ell)v = kv + \ell v.
  2. k(u+v) = ku + kv.
  3. (k\ell)v = k(\ell v).
  4. 1\cdot v = v (onde 1 é o elemento neutro de escalares).
    Vou verificar a estrutura de grupo aditivo e cada uma das propriedades acima com a multiplicação por escalar definida.

Passo 3

Verificando o grupo abeliano aditivo (operação de adição é a usual em \mathbb{R}^2):
  • Fechamento: se (x,y),(x',y')\in\mathbb{R}^2, então (x+x',y+y')\in\mathbb{R}^2. OK.
  • Comutatividade: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')=(x'+x,y'+y)=(x',y')+(x,y). OK.
  • Associatividade: (x,y)+\big((x',y')+(x'',y'')\big)=((x,y)+(x',y'))+(x'',y'') porque soma coordenada a coordenada é associativa. OK.
  • Existência de neutro aditivo: (0,0) satisfa z (x,y)+(0,0)=(x,y). OK.
  • Existência de inverso aditivo: para (x,y) o inverso é (-x,-y) porque (x,y)+(-x,-y)=(0,0). OK.
    Portanto a parte aditiva é um grupo abeliano — todas as propriedades aditivas clássicas são satisfeitas.

Passo 4

Verificando as propriedades distributivas envolvendo escalares (começando por aquelas que costumam passar sem problema):
Propriedade 1: (k+\ell)(x,y) = k(x,y)+\ell(x,y).
Calcule o lado esquerdo:
(k+\ell)(x,y) = (2(k+\ell)x,\,2(k+\ell)y)=(2kx+2\ell x,\,2ky+2\ell y).
Calcule o lado direito:
k(x,y)+\ell(x,y)=(2kx,\,2ky)+(2\ell x,\,2\ell y)=(2kx+2\ell x,\,2ky+2\ell y).
Os dois lados coincidem, logo (k+\ell)v = kv+\ell v vale para todos k,\ell e v.
Propriedade 2: k\big((x,y)+(x',y')\big)=k(x,y)+k(x',y').
Calcule o lado esquerdo:
k(x+x',y+y')=(2k(x+x'),\,2k(y+y'))=(2kx+2kx',\,2ky+2ky').
Calcule o lado direito:
k(x,y)+k(x',y')=(2kx,\,2ky)+(2kx',\,2ky')=(2kx+2kx',\,2ky+2ky').
Também coincidem, então k(u+v)=ku+kv vale para todos k,u,v.

Passo 5

Agora verifico a compatibilidade entre multiplicações escalares (aquela que costuma falhar em exemplos com fator extra): (k\ell)(x,y) versus k\big(\ell(x,y)\big).
Calcule (k\ell)(x,y):
(k\ell)(x,y)=(2(k\ell)x,\,2(k\ell)y)=(2k\ell x,\,2k\ell y).
Calcule k\big(\ell(x,y)\big). Primeiro \ell(x,y)=(2\ell x,\,2\ell y). Agora aplicar k:
k(2\ell x,\,2\ell y)=(2k(2\ell x),\,2k(2\ell y))=(4k\ell x,\,4k\ell y).
Comparando,
(k\ell)(x,y)=(2k\ell x,\,2k\ell y), \qquad k\big(\ell(x,y)\big)=(4k\ell x,\,4k\ell y).
Geralmente (2k\ell x,2k\ell y)\neq(4k\ell x,4k\ell y), salvo casos triviais (por exemplo quando x=y=0 ou k\ell=0). Logo a propriedade
(k\ell)v = k(\ell v)
falha em geral.
Um contraexemplo numérico simples: tome k=\ell=1 e v=(1,0). Então
(1\cdot 1)(1,0)=(2\cdot 1\cdot 1,\,0)=(2,0),
enquanto
1\big(1(1,0)\big)=1(2\cdot 1,\,0)=1(2,0)=(4,0).
Portanto os dois lados são diferentes (2,0)\neq(4,0).

Passo 6

Verificando a propriedade do elemento neutro escalar: 1\cdot (x,y) deve ser (x,y).
Calcule 1(x,y) segundo a definição dada:
1(x,y)=(2\cdot 1\cdot x,\,2\cdot 1\cdot y)=(2x,\,2y).
Para a igualdade 1(x,y)=(x,y) ser verdadeira precisamos de (2x,2y)=(x,y), isto é x=0 e y=0. Em geral, para um v arbitrário, 1v\neq v. Logo a propriedade 1\cdot v = v falha (novamente salvo o vetor zero).

Passo 7

Conclusão: a estrutura satisfaz todas as propriedades aditivas e também satisfaz as duas primeiras propriedades distributivas envolvendo escalares, mas falha pelo menos nas seguintes propriedades essenciais:
  • Multiplicação compatível com produto de escalares: (k\ell)v = k(\ell v) falha.
  • Identidade escalar: 1\cdot v = v falha.
Como pelo menos uma das propriedades fundamentais da multiplicação por escalar não é satisfeita (na verdade duas falham), a estrutura não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

Não é espaço vetorial. As condições que falham são (k\ell)v = k(\ell v) e 1\cdot v = v.

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