Dado o conjunto de objetos junto com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para os que não são liste as condições que falham.
com as operações
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações
e
para todo
e todo
.
A pergunta é: este conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre ? Se não for, listar quais condições (axiomas) de espaço vetorial falham.
A pergunta é: este conjunto com essas operações é um espaço vetorial sobre
Passo 2
Rápida revisão do que vou verificar (o que é necessário para ser espaço vetorial). Um conjunto
com adição e multiplicação por escalar é espaço vetorial se, além de ser um grupo abeliano pela adição, satisfizer as propriedades da multiplicação por escalar (para todos
e
):
-
. -
. -
. -
(onde é o elemento neutro de escalares).
Vou verificar a estrutura de grupo aditivo e cada uma das propriedades acima com a multiplicação por escalar definida.
Passo 3
Verificando o grupo abeliano aditivo (operação de adição é a usual em
):
- Fechamento: se
, então . OK. - Comutatividade:
. OK. - Associatividade:
porque soma coordenada a coordenada é associativa. OK. - Existência de neutro aditivo:
satisfa z . OK. - Existência de inverso aditivo: para
o inverso é porque . OK.
Portanto a parte aditiva é um grupo abeliano — todas as propriedades aditivas clássicas são satisfeitas.
Passo 4
Verificando as propriedades distributivas envolvendo escalares (começando por aquelas que costumam passar sem problema):
Propriedade 1: .
Propriedade 1:
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Os dois lados coincidem, logo
vale para todos
e
.
Propriedade 2:
.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Também coincidem, então
vale para todos
.
Passo 5
Agora verifico a compatibilidade entre multiplicações escalares (aquela que costuma falhar em exemplos com fator extra):
versus
.
Calcule
:
Calcule
. Primeiro
. Agora aplicar
:
Comparando,
Geralmente
, salvo casos triviais (por exemplo quando
ou
). Logo a propriedade
falha em geral.
Um contraexemplo numérico simples: tome
e
. Então
enquanto
Portanto os dois lados são diferentes
.
Passo 6
Verificando a propriedade do elemento neutro escalar:
deve ser
.
Calcule
segundo a definição dada:
Para a igualdade
ser verdadeira precisamos de
, isto é
e
. Em geral, para um
arbitrário,
. Logo a propriedade
falha (novamente salvo o vetor zero).
Passo 7
Conclusão: a estrutura satisfaz todas as propriedades aditivas e também satisfaz as duas primeiras propriedades distributivas envolvendo escalares, mas falha pelo menos nas seguintes propriedades essenciais:
- Multiplicação compatível com produto de escalares:
falha. - Identidade escalar:
falha.
Como pelo menos uma das propriedades fundamentais da multiplicação por escalar não é satisfeita (na verdade duas falham), a estrutura não é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não é espaço vetorial. As condições que falham são
e
.