Sejam os vetores em \mathbb{R}^{3} abaixo:
\begin{array}{lll} \mathbf{v}_{1}=(1,2,3), & \mathbf{v}_{2}=(2,-1,4), & \mathbf{v}_{3}=(0,1,1), \\\ \mathbf{v}_{4}=(3,0,-1), & \mathbf{v}_{5}=(1,1,0), & \mathbf{v}_{6}=(2,2,5) . \end{array}
Seja \mathbf{w}=(a, a+1,7). Escolha dois vetores dentre os dados (indique quais você escolheu) e determine o(s) valor(es) de a \in \mathbb{R} para os quais os três vetores (os dois escolhidos e w) são coplanares. Mostre todos os cálculos.

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{v}_{1}=(1,2,3),\quad \mathbf{v}_{2}=(2,-1,4),\quad \mathbf{v}_{3}=(0,1,1),
\mathbf{v}_{4}=(3,0,-1),\quad \mathbf{v}_{5}=(1,1,0),\quad \mathbf{v}_{6}=(2,2,5)
e \mathbf{w}=(a,a+1,7) com a\in\mathbb{R}.
A tarefa é: escolher dois vetores dentre os dados (vou indicar quais escolhi) e determinar os valores de a tais que os três vetores — os dois escolhidos e \mathbf{w} — sejam coplanares.
Escolhi os vetores \mathbf{v}_1=(1,2,3) e \mathbf{v}_2=(2,-1,4). Vou encontrar os a para os quais \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w} são coplanares.

Passo 2

O que significa “coplanares” aqui? Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem, o que ocorre exatamente quando eles são linearmente dependentes. Uma forma prática de testar isso é o produto misto (scalar triple product): três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{z} são coplanares se e somente se
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z})=0.
Esse produto misto é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os três vetores. Assim, para \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w} basta montar a matriz com essas linhas e exigir que o determinante seja zero:
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 4\\[4pt] a & a+1 & 7 \end{pmatrix}=0.
Vou calcular esse determinante passo a passo (expansão pela primeira linha).]

Passo 3

Expansão do determinante pela primeira linha (regra de Sarrus ou cofatores). Usando cofatores:
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt] a+1 & 7\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] a & 7\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] a & a+1\end{pmatrix}.
Agora calculei cada determinante 2\times2 separadamente.]

Passo 4

Calcule os menores 2\times2:
  1. Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt] a+1 & 7\end{pmatrix} = (-1)\cdot 7 - 4\cdot (a+1).
Desenvolvendo:
(-1)\cdot 7 - 4\cdot (a+1) = -7 -4a -4 = -4a -11.
  1. Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] a & 7\end{pmatrix} = 2\cdot 7 - 4\cdot a = 14 -4a.
  1. Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] a & a+1\end{pmatrix} = 2\cdot (a+1) - (-1)\cdot a.
Desenvolvendo:
2(a+1) + a = 2a +2 + a = 3a +2.]

Passo 5

Substitua os valores dos menores na expressão do determinante:
\det = 1\cdot(-4a -11) - 2\cdot(14 -4a) + 3\cdot(3a +2).
Agora simplifique termo a termo:
\det = -4a -11 -28 +8a +9a +6.
Agrupando os coeficientes de a e as constantes:
\det = (-4a +8a +9a) + (-11 -28 +6) = 13a -33.
A condição de coplanaridade é \det=0, logo:
13a -33 = 0.

Passo 6

Resolva para a:
13a = 33 \quad\Longrightarrow\quad a = \dfrac{33}{13}.
Interpretação rápida: para a=\dfrac{33}{13} o determinante fica zero, portanto \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w} são coplanares. Para outros valores de a o determinante é diferente de zero e os três vetores não são coplanares.

Resposta

Vetores escolhidos: \mathbf{v}_1=(1,2,3) e \mathbf{v}_2=(2,-1,4).
a=\dfrac{33}{13}.

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