Seja \mathbf{w}=(a, a+1,7). Escolha dois vetores dentre os dados (indique quais você escolheu) e determine o(s) valor(es) de a \in \mathbb{R} para os quais os três vetores (os dois escolhidos e w) são coplanares. Mostre todos os cálculos.
e \mathbf{w}=(a,a+1,7) com a\in\mathbb{R}.
A tarefa é: escolher dois vetores dentre os dados (vou indicar quais escolhi) e determinar os valores de a tais que os três vetores — os dois escolhidos e \mathbf{w} — sejam coplanares.
Escolhi os vetores \mathbf{v}_1=(1,2,3) e \mathbf{v}_2=(2,-1,4). Vou encontrar os a para os quais \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w} são coplanares.
Passo 2
O que significa “coplanares” aqui? Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem, o que ocorre exatamente quando eles são linearmente dependentes. Uma forma prática de testar isso é o produto misto (scalar triple product): três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{z} são coplanares se e somente se
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z})=0.
Esse produto misto é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os três vetores. Assim, para \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w} basta montar a matriz com essas linhas e exigir que o determinante seja zero:
13a = 33 \quad\Longrightarrow\quad a = \dfrac{33}{13}.
Interpretação rápida: para a=\dfrac{33}{13} o determinante fica zero, portanto \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w} são coplanares. Para outros valores de a o determinante é diferente de zero e os três vetores não são coplanares.
Resposta
Vetores escolhidos: \mathbf{v}_1=(1,2,3) e \mathbf{v}_2=(2,-1,4). a=\dfrac{33}{13}.