Sejam os vetores em \mathbb{R}^{3} abaixo:
\begin{array}{lll} \mathbf{v}_{1}=(1,2,3), & \mathbf{v}_{2}=(2,-1,4), & \mathbf{v}_{3}=(0,1,1), \\\ \mathbf{v}_{4}=(3,0,-1), & \mathbf{v}_{5}=(1,1,0), & \mathbf{v}_{6}=(2,2,5) . \end{array}
Considere os quatro vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{5}, \mathbf{v}_{6}. Verifique se entre esses quatro existem vetores ortogonais dois a dois. Justifique sua resposta calculando os produtos internos relevantes.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{v}_{1}=(1,2,3),\qquad \mathbf{v}_{3}=(0,1,1),\qquad \mathbf{v}_{5}=(1,1,0),\qquad \mathbf{v}_{6}=(2,2,5).
A pergunta pede para verificar se, entre esses quatro vetores, existem vetores ortogonais dois a dois. Ou seja: há pares distintos (\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) com produto interno igual a zero? Vou listar e calcular todos os produtos internos relevantes entre esses quatro vetores.

Passo 2

Lembrete didático: o produto interno (produto escalar) entre dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3 é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o seu produto interno for zero. Vou então aplicar a fórmula acima a cada par dos vetores dados.

Passo 3

Calcular \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3.
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3 = 1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot1 = 0 + 2 + 3 = 5.
Como 5\neq 0, \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_3 não são ortogonais.

Passo 4

Calcular \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_5 e \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_6.
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_5 = 1\cdot1 + 2\cdot1 + 3\cdot0 = 1 + 2 + 0 = 3.
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_6 = 1\cdot2 + 2\cdot2 + 3\cdot5 = 2 + 4 + 15 = 21.
Como 3\neq 0 e 21\neq 0, \mathbf{v}_1 não é ortogonal nem a \mathbf{v}_5 nem a \mathbf{v}_6.

Passo 5

Calcular \mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_5 e \mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_6.
\mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_5 = 0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 0 + 1 + 0 = 1.
\mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_6 = 0\cdot2 + 1\cdot2 + 1\cdot5 = 0 + 2 + 5 = 7.
Como 1\neq 0 e 7\neq 0, \mathbf{v}_3 não é ortogonal nem a \mathbf{v}_5 nem a \mathbf{v}_6.

Passo 6

Calcular \mathbf{v}_5\cdot\mathbf{v}_6.
\mathbf{v}_5\cdot\mathbf{v}_6 = 1\cdot2 + 1\cdot2 + 0\cdot5 = 2 + 2 + 0 = 4.
Como 4\neq 0, \mathbf{v}_5 e \mathbf{v}_6 não são ortogonais.

Passo 7

Resumo das seis avaliações de produtos internos entre os quatro vetores:
\begin{aligned} \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3 &= 5,\\\ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_5 &= 3,\\\ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_6 &= 21,\\\ \mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_5 &= 1,\\\ \mathbf{v}_3\cdot\mathbf{v}_6 &= 7,\\\ \mathbf{v}_5\cdot\mathbf{v}_6 &= 4. \end{aligned}
Todos os produtos internos são diferentes de zero, logo não há pares ortogonais entre esses vetores.

Resposta

Não. Não existe par ortogonal entre \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_5,\mathbf{v}_6.

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